Revisão de Séries Temporais: Conceitos e Aplicações
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Primeira Prova de Séries Temporais (SME0808)
Questão 01: Verdadeiro ou Falso
(A) O método de alisamento exponencial só pode ser utilizado em séries sazonais.
Falso! Podemos aplicar o método de alisamento exponencial simples para uma série temporal não sazonal e sem tendência sistemática, tomando a estimativa como uma soma ponderada das observações passadas.
(B) Em um processo estacionário, a covariância deve depender apenas da distância h.
Falso! Em um processo estacionário, média e variância devem ser constantes. A covariância deve depender apenas da distância h (defasagem entre as observações no tempo), mas não do tempo (t) diretamente.
(C) Um passeio aleatório com erros normais é sempre estacionário.
Falso! Seja um processo estacionário et ~ N(μ, σe2), com o processo Xt dado por:
Xt = Xt-1 + et. Realizando substituições sucessivas, temos:
Xt = Xt-2 + et-1 + et = Xt-3 + et-2 + et-1 + et = ... = X0 + Σj=1t ej.
Iniciando o processo em X0 = 0, temos:
E[Xt] = E[0 + Σj=1t ej] = μt e Var[Xt] = Var[Σj=1t ej] = σe2t.
Como E[Xt] e Var[Xt] dependem de t, o processo é não estacionário.
(D) A Função de Autocorrelação (FAC) teórica de um processo MA assume valores no intervalo [0,1].
Falso! A FAC teórica de um processo MA(q) é dada por: ρk = {1, se k = 0; Σj=0q-k (βjβj+k) / Σj=0q (βj2), para k = 1, ..., q; 0, se k > q; ρ-k, se k < 0}. Portanto, pode assumir valores entre -1 e 1.
(E) MA(q=2) é sempre estacionário.
Verdadeiro! Para ser estacionário, a média e a variância não devem depender do tempo. Dado um processo de médias móveis de ordem q = 2, temos: Xt = et + β1et-1 + β2et-2. E[Xt] = 0 e Var[Xt] = (1 + β12 + β22)σe2. Cov(et, es) = σe2 quando t = s e Cov(et, es) = 0 quando t ≠ s. A média e a variância são constantes, e a covariância não depende de t. O processo é fracamente estacionário para quaisquer β1 e β2. Se os et's são normalmente distribuídos, os Xt's também serão e, portanto, o processo é estritamente estacionário.
(A) A FAC teórica pode assumir valores de [-1,1].
Verdadeiro! A FAC é uma medida de correlação, portanto, pode assumir valores entre -1 e 1, dependendo do modelo.
(C) Os coeficientes de um processo AR(p) também podem ser estimados pelo método dos mínimos quadrados.
Verdadeiro! O método dos mínimos quadrados é uma das formas de estimar os coeficientes de um processo AR(p).
(F) A FAC do modelo AR(2) é igual a zero.
Falso! A FAC de um modelo AR(2) decai exponencialmente em direção a zero, mas não é exatamente igual a zero.
Questão 02: Representação com Operador Retardo
- AR: Sempre inversível; verificar estacionariedade.
- MA: Sempre estacionário; verificar inversibilidade.
- ARMA: Verificar ambos.
- ARIMA: Não estacionário; verificar inversibilidade.
- Xt = Sazonalidade Φ(B)
- et = Inversibilidade θ(B)
(A) ∇Xt = 0.3∇Xt-1 + et - 0.6et-1 => ARIMA(1,1,1)
Xt - Xt-1 = 0.3(Xt-1 - Xt-2) + et - 0.6et-1 <=> Xt - 1.3Xt-1 + 0.3Xt-2 = et - 0.6et-1 <=> Xt(1 - 1.3B + 0.3B2) = (1 - 0.6B)et
1 - 0.6B = 0 => B = 1.67 (Não estacionário por definição, mas inversível, pois |B| > 1).
(B) Xt = et - 1.2et-1 + 0.3et-2 => MA(2)
Xt = (1 - 1.2B + 0.3B2)et => As raízes são aproximadamente 3.7 e 0.3. (Sempre estacionário por definição. Inversível, pois uma das raízes tem módulo maior que 1).
(C) Xt = 0.5Xt-1 + et - 1.3et-1 + 0.4et-2 => ARMA(1,2)
Xt - 0.5Xt-1 = et - 1.3et-1 + 0.4et-2 => Xt(1 - 0.5B) = et(1 - 1.3B + 0.4B2)
Raízes: B = 2 (AR); B1 = 1.25, B2 = 2 (MA). (Estacionário, pois |B| > 1 para a parte AR, e inversível, pois |B1| > 1 e |B2| > 1 para a parte MA).
(D) ∇Xt = -0.3∇Xt-1 + et + 0.8et-1 => ARIMA(1,1,1)
(Xt - Xt-1) = -0.3(Xt-1 - Xt-2) + et + 0.8et-1 => Xt - 0.7Xt-1 + 0.3Xt-2 = et + 0.8et-1 => Xt(1 - 0.7B + 0.3B2) = et(1 + 0.8B)
Raízes da parte AR: B ≈ 1.17 ± 1.46i. Raiz da parte MA: -1.25. (Não estacionário por definição. Inversível, pois |B| > 1 para a parte MA).
(E) Xt = Xt-1 + cXt-2 - cXt-3 + et => AR(3)
et = Xt - Xt-1 - cXt-2 + cXt-3 => et = Xt(1 - B - cB2 + cB3) => (B - 1)(cB2 - 1) = 0
B = 1, B = ±√(1/c). (Inversível por definição. Não estacionário, pois uma das raízes é igual a 1).
Questão 03: Método de Holt-Winters
(A) Os parâmetros de alisamento α, γ e σ medem a influência das observações passadas na previsão de cada componente (nível, tendência e sazonalidade). Eles são obtidos minimizando a soma dos quadrados dos erros de previsão um passo à frente (Xt - Xt(1)).
(B)
- Usamos sazonalidade aditiva no método de Holt-Winters se a amplitude da variação sazonal for constante ao longo do tempo. Ou seja, quando a magnitude do padrão sazonal nos dados não depende da magnitude dos dados.
- Utilizamos sazonalidade multiplicativa no método de Holt-Winters se a amplitude da variação sazonal depender do tempo. Ou seja, a magnitude do padrão sazonal dos dados depende da magnitude dos dados. Em outras palavras, a magnitude do padrão sazonal aumenta à medida que os valores dos dados aumentam e diminui quando os valores dos dados diminuem.
Questão 04: FAC e FACP
(A) AR(1):
- α = 0.1: Decaimento exponencial rápido para 0 na FAC. FACP = 0 para k ≥ 2.
- α = 0.99: Decaimento exponencial lento para 0 na FAC. FACP = 0 para k ≥ 2.
- α = -0.75: Decaimento oscilatório na FAC e FACP, com o sinal alternando a cada passo k.
(B) MA(3): FAC com valores significativos até o lag 3, depois FAC = 0. FACP com decaimento oscilatório.
(C) FAC e FACP amostrais:
- AR(1) com α > 0: FAC com decaimento exponencial. FACP próxima de 0 para k ≥ 2.
- AR(1) com α < 0: FAC e FACP com decaimento oscilatório.
- MA(3): FAC amostral próxima de 0 para k > 3. FACP com decaimento oscilatório.
Questão 05: ARIMA(1,1,1)
(A) ARIMA(p, d, q) é dado por:
Wt = α1Wt-1 + ... + αpWt-p + et + β1et-1 + ... + βqet-q, onde Wt = ∇dXt.
Em termos do operador retardo: φ(B)(1 - B)dXt = θ(B)et.
Para ARIMA(1, 1, 1): (1 - φ1B)(1 - B)Xt = (1 + θ1B)et.
(B)
- Série original: FAC decai exponencialmente. FACP dominada pelo decaimento exponencial.
- Série diferenciada (ARIMA(1,1,1)): Comportamento semelhante a um ARMA(1,1). FAC com decaimento a partir de q = 1. FACP com decaimento a partir de p = 1.