Simulação Computacional: Conceitos, Tipos e Aplicações

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Escrito em 4 de Outubro de 2025 em português com um tamanho de 29,79 KB

Introdução à Simulação Computacional

Introdução

Quando alguém tem a responsabilidade de gerir um determinado sistema (como um banco, um sistema de transporte da cidade, etc.), deve continuamente tomar decisões sobre as ações realizadas no sistema. Estas decisões devem ser tais que o comportamento resultante do sistema atenda aos melhores objetivos possíveis.

A fim de decidir corretamente, é necessário saber como o sistema irá responder a uma determinada ação. Isso poderia ser feito através da experimentação com o sistema em si, mas fatores como custo, segurança e outros geralmente tornam essa opção inviável. Para superar esses inconvenientes, o sistema real é substituído por outro sistema que, na maioria dos casos, é uma versão simplificada. Este último é o modelo utilizado para realizar a experiência necessária, sem os inconvenientes descritos acima. O processo de experimentação de um modelo é chamado de simulação. O processo de elaboração do plano experimental para tomar a melhor decisão é chamado de otimização. Se o plano experimental é realizado com o único objetivo de aprender a conduzir o sistema, é chamado de treinamento ou formação.

Neste ponto, devemos apresentar as seguintes definições:

Sistema:: Conjunto de objetos ou ideias que estão inter-relacionados como uma unidade para atingir um fim (Shannon, 1988). Também pode ser definida como a porção do universo que será objeto da simulação.
Modelo:: Um objeto X é um modelo de objeto Y para o observador Z se Z pode usar X para responder a perguntas que interessam sobre Y (Minsky).
Simulação:: Simulação é o processo de conceber um modelo de um sistema real e conduzir experiências com ele, a fim de aprender o comportamento do sistema ou avaliar várias estratégias para o funcionamento do sistema (Shannon, 1988).

Aplicações da Simulação

A simulação é útil quando:

Não existe uma fórmula matemática analiticamente solúvel. Muitos sistemas reais não podem ser modelados matematicamente com as ferramentas atualmente disponíveis, como o comportamento de um cliente de um banco.
Existe uma fórmula matemática, mas é difícil obter uma solução analítica. Os modelos matemáticos usados para modelar um reator nuclear ou uma fábrica de produtos químicos são impossíveis de resolver de forma analítica sem fazer simplificações graves.
Não existe um sistema real. Um problema do engenheiro que deve projetar um novo sistema. O projeto do sistema irá melhorar significativamente se houver um modelo adequado para experimentos.
Os experimentos são impossíveis devido a restrições económicas, de qualidade, segurança e ética. Neste caso, o sistema real está disponível para os experimentos, mas a dificuldade dessas causas descarta essa opção. Um exemplo é a falha em induzir falhas em uma aeronave real para avaliar a condução do piloto, ou não se pode alterar o valor de um imposto para avaliar a reação do mercado.
O sistema evolui muito lentamente ou muito depressa. Um exemplo de dinâmica lenta é o problema dos cientistas que estudam as tendências do clima. Eles devem prever o comportamento do clima no futuro, dadas as condições atuais, e não podem esperar por um tornado arrasar a cidade para depois dar a mensagem de aviso. Pelo contrário, há fenômenos muito rápidos para serem observados em detalhe, como uma explosão.

Desvantagens Potenciais da Simulação

Desvantagens potenciais da simulação podem ser citadas:

O desenvolvimento de um modelo pode ser caro, trabalhoso e lento.
Existe a possibilidade de erros. Não se deve esquecer que o experimento foi realizado com um modelo e não com o sistema real, então se o modelo estiver errado ou se cometerem erros na sua gestão, os resultados também serão incorretos.
Não se pode saber o grau de imprecisão dos resultados. Normalmente, o modelo é usado para experimentar coisas nunca levantadas no sistema real, portanto, não há informação prévia para estimar o grau de correspondência entre a resposta do modelo e o sistema real.

Áreas de Aplicação

Atualmente, a simulação fornece um serviço inestimável em quase todas as áreas possíveis. Alguns exemplos são:

Processos de fabrico: Ajuda a detectar pontos de estrangulamento, a distribuir pessoal e a determinar a política de produção.
Instalações industriais: Fornece informações para estabelecer as condições ótimas de operação e procedimentos de desenvolvimento e operação de emergência.
Sistemas públicos: Prevê a demanda de energia durante diferentes épocas do ano, as condições meteorológicas esperadas e o padrão de disseminação de doenças.
Sistemas de transporte: Identifica áreas de possível congestionamento, as áreas com maior risco de acidentes e prevê a demanda para cada hora do dia.
Construção: Prevê os efeitos dos ventos e dos terremotos na estabilidade dos edifícios, fornece informações sobre as condições de iluminação e ambientais dentro deles, e detecta as partes das estruturas que devem ser reforçadas.
Design: Permite a seleção adequada de materiais e formas. É possível estudar a sensibilidade do projeto em relação aos parâmetros incontroláveis.
Educação: É uma excelente ferramenta para ajudar a compreender o sistema real, porque pode expandir, comprimir ou parar o tempo, e é capaz de fornecer informações sobre variáveis que não podem ser medidas no sistema real.
Treinamento: Como o risco e os custos são quase nulos, uma pessoa pode usar o simulador para aprender por si, usando o método mais natural para a aprendizagem: tentativa e erro.

Impacto Histórico e Exemplos Notáveis

A importância da simulação é clara ao considerar o impacto que teve em alguns trabalhos, tais como:

Perestroika: Estudos de simulação realizados na Rússia nos anos 70 e 80 convenceram os líderes da necessidade de estabelecer uma forte mudança na economia do país.
O crash da bolsa de Nova York em 1988: O uso de programas de simulação por corretores causou uma instabilidade falsa que derrubou o mercado.
O retorno da Apollo 13: A simulação teve um papel fundamental na determinação do plano. A nave retornou com sucesso, apesar de sérios danos.
As Voyagers: Graças à simulação, foi possível estabelecer as rotas ideais para essas aeronaves, aproveitando ao máximo o consumo mínimo de energia da força gravitacional dos planetas.
Projeto Monte Carlo: Von Neumann e Ulam (1945) usaram simulações para estudar reações nucleares.
Os modelos do planeta: Alguns levantam a possibilidade do aquecimento global devido aos gases de efeito estufa. Outros levantam a possibilidade de um arrefecimento e preveem uma nova era glacial.
Treinamento de tropas: Na operação Tempestade no Deserto, realizada na guerra contra o Iraque, as tropas de todas as forças dos EUA envolvidas (Força Aérea, Marinha e Exército) foram treinadas em simuladores.
A formação policial: Ambientes virtuais são utilizados para que o gestor aprenda a se comportar em situações de risco.
Flight Simulator: Foi uma das primeiras aplicações dos simuladores. Atualmente, é usado para treinar pilotos de aviões comerciais e de combate.

Tipos de Simulação

De acordo com a natureza do modelo utilizado, a simulação pode ser classificada em (Fishman, 1978):

Simulação de Identidade

É quando o modelo é uma réplica exata do sistema em estudo. É utilizada por empresas do ramo automóvel ao fazer testes de colisão de carros com unidades reais.

Simulação de Quase-Identidade

Usa uma versão ligeiramente simplificada do sistema real. Por exemplo, o treinamento militar, que inclui a mobilização de equipamentos e tropas, mas não realiza uma batalha real.

Modelos de Laboratório

São utilizados sob condições controladas de laboratório. Podemos distinguir dois tipos de simulações:

Jogo Operacional: Pessoas competem umas com as outras, fazendo parte do modelo. A outra parte é composta de computadores, máquinas, etc. Este é o caso de uma simulação empresarial em que os computadores estão limitados à coleta de informações geradas por cada participante e à apresentação delas de forma ordenada para cada um.
Homem-Máquina: Estuda-se a relação entre pessoas e máquinas. As pessoas também fazem parte do modelo. O computador não se limita à coleta de informações, mas também as gera. Um exemplo deste tipo de simulação é o simulador de voo.

Simulação por Computador

O modelo é totalmente simbólico e é implementado em uma linguagem de computador. As pessoas estão excluídas do modelo. Um exemplo é o simulador de um sistema de redes de comunicação onde o comportamento dos usuários é modelado estatisticamente. Esse tipo de simulação, por sua vez, pode ser:

Digital: Quando se utiliza um computador digital.
Analógico: Quando se usa um computador analógico. Este grupo pode também incluir simulações com modelos físicos.

A Simulação Computacional

Este texto se concentrará na simulação de computador. Um simulador de computador é composto das seguintes partes:

Um Modelo: É um modelo simbólico. Pode ser um conjunto de equações, regras lógicas ou um modelo estatístico.
O Avaliador: O conjunto de procedimentos que processa o modelo para obter os resultados da simulação. Pode conter rotinas para resolver sistemas de equações, geradores de números aleatórios, rotinas de estatística, etc.
A Interface: A parte dedicada a interagir com o usuário, recebendo as ações e apresentando os resultados da simulação de uma forma adequada. Esta unidade pode ser tão complexa quanto o carro usado em simuladores de voo profissional.

Etapas de uma Simulação

No desenvolvimento de uma simulação, podem-se distinguir as seguintes fases (Banks et al., 1996):

Formulação do Problema: Esta etapa deve estabelecer claramente o objetivo da simulação. O cliente e o desenvolvedor devem concordar, tão pormenorizadamente quanto possível, sobre os seguintes fatores: os resultados esperados do simulador, o plano experimental, o tempo disponível, as variáveis de interesse, os tipos de distúrbios estudados, o tratamento estatístico dos resultados, a complexidade da interface do simulador, etc. Deve ser estabelecido se o simulador será operado pelo usuário ou se o usuário só receberá os resultados. Finalmente, deve-se determinar se o usuário solicita um trabalho de simulação ou um trabalho de otimização.
Definição do Sistema: O sistema a ser simulado deve ser bem definido. O cliente e o desenvolvedor devem concordar sobre qual é o limite do sistema em estudo e quais interações com o ambiente devem ser consideradas.
Formulação do Modelo: Esta etapa é uma arte e será discutida posteriormente. Ela começa com o desenvolvimento de um modelo simples que captura os aspectos relevantes do sistema real. Os aspectos relevantes do sistema real dependem da formulação do problema; para um engenheiro de segurança, os aspectos relevantes de um carro são diferentes das questões analisadas por um engenheiro mecânico para o mesmo sistema. Este modelo simples será enriquecido como resultado de várias iterações.
Coleta de Dados: A natureza e a quantidade de dados necessários são determinadas pela formulação do problema e pelo modelo. Os dados podem ser fornecidos por registros históricos, experiências laboratoriais ou medições do sistema real. Eles devem ser tratados corretamente para dar o formato exigido pelo modelo.
Implementação do Modelo de Computador: O modelo é implementado utilizando uma linguagem de computador. Existem linguagens de simulação específicas que facilitam essa tarefa, e também existem programas que já implementaram os modelos para casos especiais.
Verificação: Nesta fase, verifica-se que não foram cometidos erros durante a implementação do modelo. Para fazer isso, usam-se as ferramentas de depuração fornecidas pelo ambiente de programação.
Validação: Nesta etapa, verifica-se a exatidão do modelo desenvolvido. Isto é feito através da comparação das previsões do modelo com as medições em sistemas reais, dados históricos ou dados de sistemas similares. Como resultado desta etapa, pode ser necessário modificar o modelo ou coletar dados adicionais.
Desenho Experimental: Nesta etapa, decidem-se as características das experiências a serem feitas: a hora de partida, o tempo de simulação e o número de simulações. Não se inclui aqui o desenvolvimento do conjunto de alternativas para tentar escolher a melhor; o desenvolvimento desta lista e a gestão de tarefas é otimização, e não simulação. Deve ficar claro ao formular o problema se o cliente quer uma simulação ou otimização.
Experimentação: Nesta etapa, as simulações são realizadas no âmbito do projeto anterior. Os resultados são recolhidos e tratados adequadamente.
Interpretação: Analisa-se a sensibilidade do modelo em relação aos parâmetros que estão associados a uma maior incerteza. Se necessário, dados complementares deverão ser recolhidos para refinar a estimativa de parâmetros críticos.
Implementação: O cliente deverá acompanhar a fase de implementação para evitar o mau uso do simulador ou o uso indevido dos resultados.
Documentação: Compreende o desenvolvimento de documentação técnica e manuais do usuário. A documentação técnica deve incluir uma descrição detalhada do modelo.

Sistemas

Um sistema é uma parte da realidade que é o foco principal de um estudo e é composto por componentes que interagem entre si, de acordo com certas regras, dentro de um limite definido para fins de estudo. Um sistema pode desempenhar uma função que não é alcançável por componentes individuais.

Objetos ou componentes que fazem parte do sistema são chamados de entidades. Por exemplo, um carro é composto por um motor, rodas, carroçaria, etc. Estas entidades têm propriedades nomeadas atributos (por exemplo, a potência do motor) e se relacionam entre si através de relações ou funções. Essas relações podem ser:

Estática ou estrutural: Um carro tem quatro rodas.
Dinâmica ou funcional: Um carro consome gasolina se o motor arrancar.

Os valores assumidos pelos atributos das entidades em um determinado momento determinam o estado do sistema. O estado pode ser estático ou estacionário (constante no tempo) ou pode ser dinâmico ou transiente (se evolui ao longo do tempo). Um sistema pode ter dois tipos de comportamento: geralmente, quando inicia o seu trabalho, passa por um estado dinâmico e, em seguida, atinge um estado estacionário ou regime.

Um estado de equilíbrio é estável se o sistema retorna a ele depois de uma perturbação. Em contraste, um estado de equilíbrio é instável se o sistema se afasta dele após uma perturbação. Esta partida pode resultar em uma resposta cumulativa (aumentar ou diminuir de forma contínua, ou atingir estado estacionário) ou uma resposta oscilatória (aumenta e diminui continuamente). Um exemplo de estado estacionário é um pêndulo na sua posição de repouso, enquanto o pêndulo invertido é um exemplo de estado instável. Se o pêndulo não tiver atrito, a resposta à perturbação é oscilatória, enquanto que se houver atrito, a resposta é amortecida.

Atributos são também chamados de variáveis ou parâmetros. Os parâmetros (P) são atributos que foram definidos durante a concepção do sistema, tanto pelo criador quanto pela natureza (por exemplo, o deslocamento do motor, a aceleração da gravidade). As variáveis são classificadas em:

Variáveis de Entrada ou Exógenas: São definidas pelo ambiente do sistema. Podem ser manipuladas (U), definidas à vontade, ou não manipuladas (D). Um exemplo do primeiro é a posição do pedal do acelerador e, no segundo caso, a velocidade do vento. A variável de entrada não manipulável é chamada de distúrbio.
Variáveis de Saída (Y): São as variáveis de estado, ou a combinação destas, que são medidas ou que cruzam a fronteira do sistema.
Variáveis Internas: São as variáveis do sistema que não são nem de entrada, nem de saída, nem parâmetros.
Variáveis de Estado (X): É o conjunto mínimo de variáveis de sistema internas necessárias para descrever completamente o seu estado interno.

Exemplo: Aquecedor Elétrico de Água

Analisando o aquecedor elétrico de água, presumindo que a potência não é suficiente para atingir o ponto de ebulição. A classificação do sistema é a seguinte:

Parâmetros: A tensão V, a resistência Rc, as dimensões do recipiente, o coeficiente global de transferência de calor U, a capacidade térmica da água Cp, a espessura do cabo, etc.
Variáveis de Entrada Manipuladas: Posição da chave p, o fluxo de entrada Fe e a temperatura de entrada Te, o fluxo de saída Fs.
Variáveis de Saída: A temperatura Tm dada pelo termômetro, a potência dissipada Wd, a temperatura de saída Ts.
Variáveis de Estado: A massa de água M, a temperatura do fluido T. Note-se que a intensidade I e a potência de aquecimento W são variáveis internas do sistema, mas não de estado, pois podem ser calculadas a partir de outras variáveis. Assim, elas não pertencem a um conjunto mínimo de variáveis que devem ser especificadas e, portanto, não são variáveis de estado. Em contraste, os valores iniciais de M e T devem ser especificadas para que o estado do sistema seja completamente determinado.
Distúrbios: Temperatura ambiente Ta.

Durante a operação do sistema, é possível observar os seguintes estados:

Estado Inicial: A chave está aberta, o recipiente vazio, nenhum líquido entra ou sai. O estado do sistema não muda durante esta fase. É um estado estacionário.
Enchimento da Água: É Fe > 0, o recipiente recebe água e M aumenta continuamente durante este tempo. É um estado dinâmico.
Recipiente Cheio: Quando o nível da água atinge a potência desejada, a entrada é interrompida. Novamente, o sistema está em um estado estável.
Aquecimento: Uma vez que se atinge o nível da água desejada, a chave é fechada. A temperatura da água T está em contínuo crescimento. É um estado dinâmico.
Condições de Regime: Com o aumento da temperatura do sistema, a energia dissipada para o exterior Wd aumenta. Esse poder depende também de Ta, do tamanho do recipiente e de U. Quando a potência dissipada é igual à potência de aquecimento W, a temperatura do sistema também tem um valor constante. Assim, o sistema atinge um novo estado estável.
Descarga: Após atingir a temperatura desejada e mantida durante o tempo necessário, o interruptor abre e o sistema é descarregado por Fs > 0. M diminui continuamente até ser zero. A temperatura também diminui. Este é um estado dinâmico que termina quando o sistema estiver completamente vazio, retornando ao seu estado inicial.

Classificação dos Sistemas

De acordo com sua natureza, um sistema pode ser (Law e Kelton, 1991):

Determinista

Se o sistema não contém nenhum elemento aleatório, é um sistema determinístico. Neste tipo de sistema, a saída e as variáveis internas são perfeitamente determinadas ao especificar as variáveis de entrada, parâmetros e variáveis de estado. Ou seja, as relações funcionais entre as variáveis do sistema estão bem definidas. O aquecedor elétrico estudado é um sistema determinístico.

Estocástico

Neste caso, algum elemento do sistema tem um comportamento aleatório. Assim, para as entradas, os valores de saída não podem ser conhecidos com certeza. Um exemplo de um sistema estocástico é um caça-níqueis em que a mesma ação (puxar a alavanca) gera um resultado incerto (ganhar ou perder). Quando um sistema determinístico é alimentado com entradas estocásticas, a resposta do sistema também é estocástica. Por exemplo, a temperatura ambiente é uma variável aleatória que afeta a resposta do aquecedor elétrico. No mundo real, os sistemas sempre têm elementos estocásticos por natureza ou porque são fenômenos atualmente não compreendidos (como para um homem das cavernas, os eclipses poderiam parecer fenômenos aleatórios, mas hoje são previstos). No entanto, pode-se considerar um sistema real como determinístico se a sua incerteza for inferior a um valor aceito.

Contínuo

É um sistema contínuo aquele em que as relações funcionais entre as variáveis do sistema permitem que o estado evolua em tempo contínuo (é suficiente que uma variável evolua continuamente). Matematicamente, as mudanças de estado ocorrem em infinitos pontos do tempo. O subsistema de aquecimento do recipiente é contínuo porque tanto M quanto T evoluem continuamente durante a operação do sistema.

Discreto

Existe um sistema discreto onde as relações funcionais do sistema permitem que o estado varie apenas em um número finito (contável) de pontos do tempo. As causas das mudanças de estado instantâneas são chamadas de eventos. O interruptor de aquecimento é um subsistema discreto porque a intensidade I só pode mudar nos momentos em que o interruptor se abre ou fecha. A abertura e o fechamento da chave são eventos. Um sistema contínuo pode comportar-se discretamente se as entradas forem discretas. Os sistemas reais são combinações de contínuos e discretos. O tratamento deles é adotado de acordo com a característica dominante.

Modos de Simulação

Como afirmado anteriormente, na simulação, são realizadas experiências com um modelo para alcançar certos resultados. O modelo também é um sistema; de acordo com o tipo de variáveis de saída do modelo, o modo de simulação será:

Análise

Este é o modo mais utilizado. Nele, as variáveis de saída do modelo representam as variáveis de saída do sistema real. Este modo é usado para estimar a resposta do sistema real a entradas especificadas. Por imitar um sistema que realmente funciona, o modelo é matematicamente mais estável e garante a existência de uma solução.

Design (Projeto)

Neste modo, as saídas do modelo representam os parâmetros do sistema real. É usado na fase de conceção de um equipamento, onde o problema é determinar os parâmetros para que o sistema produza os resultados desejados para as entradas especificadas.

Controle

As variáveis de saída do modelo representam as variáveis de entrada do sistema real. Este modo é usado para determinar os valores que os insumos do sistema devem adotar para produzir os resultados desejados. Usa-se quando se deseja determinar as condições de funcionamento de um sistema.

Em geral, os simuladores estão operando no modo de design, o que permite ao usuário a tarefa de iterar para obter os resultados fornecidos por outros modos. Por exemplo, para estimar a tensão necessária para o aquecedor (modo de design), você pode realizar várias simulações de análise para um conjunto de configurações de voltagem e selecionar a que produz a saída desejada.

Modelagem

A modelagem é o processo de construção de um modelo. Um modelo é uma representação de um objeto, sistema ou ideia. Normalmente, o seu objetivo é ajudar a explicar, entender ou melhorar um sistema (Shannon, 1988). Os modelos são úteis para:

Pensamento: Ao criar um modelo, é necessário ordenar e completar o conhecimento que se tem do sistema real.
Comunicação: Um modelo elimina a ambiguidade da linguagem ao se comunicar com especialistas.
Instrução e Formação: Um modelo pode ser usado para treinar com custo e risco praticamente nulos. Por exemplo, os submarinos em escala usados pela marinha alemã para treinar em segredo antes da Segunda Guerra Mundial e também o sistema de navios em escalas utilizadas atualmente na França para treinar comandantes de navios petroleiros.
Previsão: Um modelo é usado para prever o comportamento do sistema real. Este é o caso dos modelos usados para prever, através de simulação, a evolução do clima global. O modelo da teoria da relatividade prevê, sem fazer uma simulação, que não é possível ultrapassar a velocidade da luz.
Experimentação: A experimentação com um modelo é barata e segura. É frequentemente usada na conceção de um sistema, por exemplo, testes realizados em túnel de vento com um modelo em escala de um avião ou um carro.

A modelagem é uma arte. Qualquer conjunto de regras para desenvolver modelos tem uma utilidade limitada e só pode servir como um guia sugerido. A arte da modelagem é a capacidade de analisar um problema, resumir as suas características essenciais, selecionar e modificar os pressupostos básicos que caracterizam o sistema, e então enriquecer e desenvolver o modelo para obter uma aproximação útil. As etapas sugeridas para este processo são:

Estabelecer uma definição clara de objetivos.
Analisar o sistema real.
Dividir o problema do sistema em problemas mais simples.
Procurar por analogias.
Considerar um exemplo numérico específico do problema.
Determinar as variáveis de interesse.
Escrever os dados de forma clara.
Escrever equações teóricas ou empíricas que descrevem estes fenômenos e relacionam as variáveis de interesse.
Se você tem um modelo tratável, enriquecer. Caso contrário, simplificar.

Normalmente, um modelo simplificado implica:

Converter variáveis em constantes.
Eliminar ou combinar variáveis.
Assumir linearidade.
Adicionar pressupostos e restrições mais poderosos.
Restringir os limites do sistema.

Para enriquecer o modelo, procede-se de forma oposta. Durante o processo de modelagem, deve-se encontrar um equilíbrio entre o grau de detalhe e o risco de imprecisão. O melhor modelo é o modelo mais simples que pode resolver o problema com o grau de precisão exigido.

Um modelo deve ser:

Fácil de entender pelo usuário.
Voltado para as metas ou objetivos específicos.
Sábio, para que não haja respostas absurdas.
Fácil de manipular e controlar pelo usuário. Ou seja, deve ser fácil de se comunicar com o modelo.
Completo, em relação a questões importantes.
Adaptável, com um procedimento simples para modificar ou atualizar o modelo.
Evolutivo, deve ser simples à primeira vista e tornar-se mais complexo ao longo do tempo.

Como um exemplo do que foi dito, considere que se quer construir um modelo para determinar o tempo e a velocidade de contato com o chão de um paraquedista. O objetivo está em andamento. O sistema será um paraquedista. As características essenciais são a velocidade de descida, a força de atrito, a altura inicial, etc. Para manter o modelo o mais simples possível, será considerada insignificante a mudança na aceleração da gravidade com relação à altura, e também será considerada insignificante a elevação da temperatura causada pela fricção, assumindo um corpo padrão para o paraquedista, etc. Em seguida, identificam-se as variáveis que representam as características essenciais: v, Fr, h0, etc. O próximo passo será o desenvolvimento de equações que liguem estas variáveis, onde g é a aceleração da gravidade, h é a altura, m é a massa do paraquedista, t é o tempo, e Cr é o coeficiente de atrito.

O modelo é viável, mas pode ser simplificado se for determinado que a velocidade terminal (que equilibra a força de atrito com o peso) é alcançada rapidamente. Se sim, pode-se usar um modelo mais simples, considerando que a velocidade é constante.

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