Testes de Aderência: Milho e Escores de Prova (2014)

Problema 3: Proporções de Plantas de Milho

Em culturas de milho, foram realizadas contagens de quatro tipos de plantas (M1, M2, M3 e M4), obtendo-se 670, 230, 238 e 62, respetivamente. De acordo com a teoria genética, a distribuição esperada dos tipos de plantas deve seguir as proporções 9:3:3:1.

1. A teoria é compatível com os dados coletados?
2. O que você pode afirmar sobre o valor-p do teste realizado?

Resolução:

De acordo com a teoria, as probabilidades esperadas para os quatro tipos de plantas, M1 a M4, sob a hipótese nula (H₀), são θ₁₀ = 9/16, θ₂₀ = 3/16, θ₃₀ = 3/16 e θ₄₀ = 1/16.

(a) Teste de Hipótese:

Os dados foram coletados de uma amostra com tamanho total n = 670 + 230 + 238 + 62 = 1200 plantas. As frequências esperadas sob H₀ (calculadas como e_i = n × θ_i0, para i = 1, ..., 4) são:

• e₁ = 1200 × (9/16) = 675
• e₂ = 1200 × (3/16) = 225
• e₃ = 1200 × (3/16) = 225
• e₄ = 1200 × (1/16) = 75

Para os dados observados (o₁=670, o₂=230, o₃=238, o₄=62), a estatística de teste Qui-quadrado de Pearson é calculada como:

Q_obs = Σ [ (o_i - e_i)² / e_i ]

Q_obs = (670 − 675)²/675 + (230 − 225)²/225 + (238 − 225)²/225 + (62 − 75)²/75

Q_obs = 25/675 + 25/225 + 169/225 + 169/75

Q_obs ≈ 0.037 + 0.111 + 0.751 + 2.253 ≈ 3.15

Esta estatística segue uma distribuição Qui-quadrado com k - 1 = 4 - 1 = 3 graus de liberdade (g.l.), pois a hipótese nula H₀ é simples.

Com um nível de significância α = 5% (ou 0,05), o valor crítico da distribuição Qui-quadrado com 3 g.l. é χ²_{(0.05, 3)} ≈ 7.815. O texto original compara Q_obs = 3.15 com um valor crítico (implícito como sendo maior que 3.15, mencionando > 4.64, que corresponde a α=0.20) para concluir a não rejeição a 5%.

Seguindo a conclusão do texto original: Como Q_obs = 3.15 é menor do que o valor crítico para α = 0.05 (que é 7.815), não rejeitamos a hipótese nula (H₀). Os dados são compatíveis com a teoria de que a distribuição dos tipos de plantas segue as proporções 9:3:3:1 a um nível de significância de 5%.

(b) Valor-p:

O texto original afirma que, com base numa tabela específica (nota 2), como 2.95 < Q_obs = 3.15 < 3.66, conclui-se que 0.30 < valor-p < 0.40. Este intervalo é consistente com o valor observado da estatística de teste.

Problema 4: Distribuição de Escores de Prova

Dez estudantes realizaram uma prova e obtiveram os seguintes escores (em 100): 95, 80, 40, 52, 60, 80, 82, 58, 65 e 50. Afirma-se que a função de distribuição acumulada (FDA) do escore (normalizado para o intervalo [0, 1], ou seja, escore/100) é dada por:

• F₀(x) = 0, se x < 0
• F₀(x) = x²(3 − 2x), se x ∈ [0, 1]
• F₀(x) = 1, se x > 1

1. Com base nestes dados, o que pode ser concluído sobre a afirmação da FDA?
2. O que você pode afirmar sobre o valor-p do teste realizado?

Resolução:

Deve ser testada a hipótese nula H₀: F(x) = F₀(x) para todo x, contra a hipótese alternativa H₁: F(x) ≠ F₀(x) para pelo menos um x, onde F₀(x) é a função especificada no enunciado. Adotamos um nível de significância α = 5%.

Como a hipótese nula é simples (a distribuição F₀(x) está completamente especificada), o teste de aderência apropriado é o teste de Kolmogorov-Smirnov.

As n = 10 observações (escores divididos por 100) em ordem crescente são: 0.40, 0.50, 0.52, 0.58, 0.60, 0.65, 0.80, 0.80, 0.82, 0.95.

A função de distribuição empírica S_n(x) é calculada a partir dos dados ordenados. Ela aumenta em 1/n = 1/10 = 0.1 em cada observação distinta (e em 2/10 no valor 0.80, que é repetido).

Os elementos necessários ao cálculo da estatística de teste D_n = sup_x |S_n(x) - F₀(x)| estão apresentados na Tabela 1. A estatística D_n é o máximo das diferenças |S_n(x_i) - F₀(x_i)| e |S_n(x_i-1) - F₀(x_i)| sobre todos os pontos observados x_i.

Tabela 1: Cálculo da estatística D_n na questão 4

Nota: S_n(x_i-1) é o valor da função empírica antes do salto em x_i. A coluna | S_n(x_i-1) − F₀(x_i) | corresponde a | S_n(x - ε) − F₀(x) | no texto original. Os valores de F₀(x_i) foram calculados usando a fórmula dada.

(a) Conclusão do Teste:

A estatística de teste observada é o valor máximo absoluto das diferenças calculadas nas duas últimas colunas da Tabela 1:

D_n,obs = max(0.352, 0.400, 0.330, 0.319, 0.248, 0.218, 0.296, 0.114, 0.093) = 0.400

Consultando a tabela de valores críticos para o teste de Kolmogorov-Smirnov com n = 10 e α = 0.05, obtemos o valor crítico D_{10, 0.95} = 0.409 (conforme mencionado no texto original).

Como D_n,obs = 0.400 < D_{10, 0.95} = 0.409, não rejeitamos a hipótese nula (H₀). A um nível de significância de 5%, não podemos negar a afirmação de que os escores seguem a distribuição F₀(x) especificada.

(b) Valor-p:

O valor-p é P(D₁₀ ≥ D_n,obs | H₀) = P(D₁₀ ≥ 0.400 | H₀). Como o valor observado (0.400) é muito próximo do valor crítico para α = 0.05 (0.409), podemos afirmar que o valor-p é ligeiramente maior que 0.05. O texto original não fornece um intervalo específico para o valor-p desta questão.