Transformada Z: 9 Propriedades da Região de Convergência

Propriedades Fundamentais da Região de Convergência (RDC)

A Região de Convergência (RDC) da Transformada Z possui características cruciais para a análise de sistemas e sinais. A seguir, listamos as nove propriedades essenciais:

1. Propriedade 1: A RDC de X(z) consiste em um anel no plano z centrado na origem.
2. Propriedade 2: A RDC não contém polos.
3. Propriedade 3: Se x[n] tiver duração finita, então a RDC será o plano z inteiro, exceto possivelmente z = 0 e/ou z = ∞.
4. Propriedade 4: Se x[n] for uma sequência lateral direita e se a circunferência |z| = r₀ estiver na RDC, então todos os valores finitos de z para os quais |z| > r₀ também estarão na RDC.
5. Propriedade 5: Se x[n] for uma sequência lateral esquerda, e se a circunferência |z| = r₀ estiver na RDC, então todos os valores de z para os quais 0 < |z| < r₀ também estarão na RDC.
6. Propriedade 6: Se x[n] for bilateral e se a circunferência |z| = r₀ estiver na RDC, então a RDC consistirá em um anel no plano z que inclui a circunferência |z| = r₀.
7. Propriedade 7: Se a Transformada Z de x[n], ou seja, X(z), é racional, então sua RDC é limitada por polos ou estende-se até o infinito.
8. Propriedade 8: Se a Transformada Z de x[n], ou seja, X(z), é racional, e se x[n] for lateral direita, então a RDC será a região no plano z fora do polo mais externo — ou seja, o exterior do círculo de raio igual à maior magnitude dos polos de X(z). Além disso, se x[n] for causal (ou seja, se for lateral direita e x[n] = 0 para n < 0), então a RDC também incluirá z = ∞.
9. Propriedade 9: Se a Transformada Z de x[n], ou seja, X(z), é racional e se x[n] for lateral esquerda, então a RDC será a região no plano z interna ao menor polo não nulo — ou seja, o interior do círculo de raio igual à menor magnitude dos polos de X(z), com exceção dos polos em z = 0. A RDC estende-se para dentro, possivelmente incluindo o ponto z = 0. Em particular, se x[n] for anticausal (ou seja, se for lateral esquerda e igual a 0 para n > 0), então a RDC também incluirá z = 0.

Relação da RDC com Causalidade e Estabilidade

• Causalidade: número de zeros =>
• Estabilidade: A RDC inclui o círculo unitário.