Classificação e Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Classificação de Sistemas de Equações

Sistemas de equações podem ser classificados de acordo com o número de soluções que possam ocorrer. Segundo esse caso, pode haver os seguintes tipos:

• Sistema Incompatível: se não tem solução.
• Sistema Compatível: se tiver alguma solução. Neste caso, também pode distinguir entre:
  • Sistema Compatível Determinado: quando se tem um número finito de soluções.
  • Sistema Compatível Indeterminado: quando se admite um conjunto infinito de soluções.

Fica assim a classificação:

Cálculo da Classificação de um Determinante da Matriz

1. Nós podemos governar uma linha se:

• Todos os coeficientes são zero.
• Há duas linhas iguais.
• Uma linha é proporcional à outra.
• Uma linha é uma combinação linear das outras. Excluir da terceira coluna, pois é uma combinação linear das duas primeiras: c₃ = c₁ + c₂

2. Verifique se você tem um rank (posto) e para isso devem cumprir: pelo menos um elemento da matriz não é zero e, portanto, seu determinante não é zero.

| 2 | = 2 ≠ 0

3. Vai ter rank 2, se houver qualquer submatriz quadrada de ordem 2, tal que o seu determinante não é zero.

4. Irão classificar 3 se houver qualquer submatriz quadrada de ordem 3, de modo que o seu determinante não é zero.

Como todos os determinantes das submatrizes são zero, não tem posto nº 3, r(B) = 2.

5. Se você tem rank 3 e existe alguma submatriz de ordem 4, cujo determinante não é zero, você tem rank 4. Desta mesma maneira que trabalha para verificar se você tem alcance superior a 4.

Determinante 3x3

Discussão de Sistemas: O Teorema de Frobenius-Rouché

A condição suficiente e necessária para um sistema de $m$ equações e $n$ incógnitas ter uma solução é que o posto da matriz dos coeficientes ($r$) e da matriz aumentada ($r'$) sejam iguais.

• r = r' $ ightarrow$ Sistema Compatível.
• r = r' = n $ ightarrow$ Sistema Compatível Determinado.
• r = r' < n $ ightarrow$ Sistema Compatível Indeterminado.
• r ≠ r' $ ightarrow$ Sistema Incompatível.

Para estudar e resolver, se possível, o sistema:

Este tópico irá discutir os sistemas de equações com parâmetros usando determinantes e o teorema de Frobenius-Rouché.

1. Encontramos o posto da matriz de coeficientes.

2. Encontramos o posto da matriz aumentada.

3. Nós aplicamos o teorema de Rouché

4. Resolva sistema compatível determinado pela regra de Cramer (também pode ser resolvido pelo método de Gauss).

Calculando a Matriz Inversa

Calculando a Matriz Inversa

1. Nós calculamos o determinante da matriz. Se o determinante for nulo, não há matriz inversa.

2. Encontramos a matriz adjunta, que é aquela em que cada elemento passa a ter a sua cofator adjunta.

3. Nós calculamos a transposição da matriz adjunta.

4. A matriz inversa é igual ao inverso do valor do determinante da matriz transposta da adjunta.

Fórmulas de Matriz de Equações

Primeiro caso:

X + B = C

X + B - B = C - B

X = C - B

Segundo caso:

AX = C

Se existe o inverso de A, | A | ≠ 0

A^-1 AX = A^-1 C

IX = A^-1 C

X = A^-1 C

Terceiro caso:

XA = C

Se existe o inverso de A, | A | ≠ 0

XA A^-1 = C A^-1

IX = C A^-1

X = C A^-1

Quarto caso:

AX + BX = C

(A + B) X = C

(A + B)^-1 (A + B) X = (A + B)^-1 C

IX = (A + B)^-1 C

X = (A + B)^-1 C

Multiplicando as Matrizes

várias linhas de colunas