Algoritmos de Geração de Variáveis Aleatórias

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Escrito em 5 de Junho de 2026 em português com um tamanho de 4,15 KB

Lista de Exercícios 3: Simulação Estocástica

1) Algoritmos para gerar:

a) Geométrica: X ~ Geom(p) → P(X=j) = p(1-p)^j-1, j=1,2..., → F_i-1 = 1 - P(X ≥ 1) = 1 - (1-p)^i-1.
1. Gere u de U(0,1).
2. Retornar X=i tal que 1-(1-p)^i-1 < u < 1-(1-p)ⁱ.
b) Binomial Negativa: X ~ BN(p,k) → F(x) = {0 se x < k e ∑_x (j-1 embaixo k-1) p^k (1-p)^j-k.
1. Gere u de U(0,1).
2. Retornar X=i tal que F_i-1 < u < F_i.

2) 2/A² * x. F(x) = ∫₀^x (2/A²) * x dx = x²/A². U = x²/A² → x = A √u.

3) u = 1 / (1 + e^-x) → u + ue^-x = 1 → e^-x = (1-u) / u → x = -ln((1-u) / u).

4) U ~ Uniforme(0,1) e Y = 1 - U. F_u(y) = P(Y ≤ u) = P(1 - U ≤ u) = 1 - P(U ≤ 1 - u) = 1 - ∫₀^1-u du = 1 - (1 - u) → u = F_u(Y). Logo, f_u(y) = dF_u(y)/dy = 1, para 0 ≤ u ≤ 1 e Y = 1 - U ~ U(0,1).

5) Se X ~ Exp(λ), Y = X^1/A ~ Weibull(A, λ). F_x(Y) = P_x(Y ≤ X) = P(X^1/A ≤ x) = P(X ≤ X^A) = ∫₀^{X^A} λ e^-λx dx = -e^{-λx^A}. → u = -e^{-λx^A} → log(-u) = -x^A λ → x = (-log u / λ)^1/A.

Gere X ~ Exp(x).
Calcule Y = X^1/A.
Obtenha uma amostra de Y.

7) P(Y ≤ x | Y ser aceito) = ∫_x^∞ g(y)h(y) dy / ∫_-∞^∞ g(y)h(y) dy → F(Y) = g(x)h(x) / ∫_-∞^∞ g(y)h(y) dy. Se f(x)/g(x) ≤ C < ∞ para todo x, g(x) > 0 e M > 0 → Tomamos h = f(x) / (g(x)C) e f(x) = g(x)f(x) / (g(x)C) / ∫_-∞^∞ g(y)f(y)(g(y)C)^-1 dy.

8) X ~ U(0,1), -1/λ log(x) ~ Exp(λ). Y = -1/λ log(x) → F_x(Y) = P_x(Y ≤ x) = P(-1/λ log(x) ≤ x) = 1 - P(x ≤ e^-λx) = 1 - ∫₀^{e^-λx} dx = 1 - e^-λx, logo f(x) = e^-λx.

9) f(x) = 30(x² - 2x³ + x⁴). g(x) = 1, d(f(x)/g(x))/dx = 30(2x - 6x² + 4x³) → 30x(4x² - 6x + 2) = 0. As raízes são x=0, x=1 ou x=1/2. Para x=0 → c = f(0) = 0; para x=1 → c = f(1) = 0; para x=1/2 → c = f(1/2) = 30/16.

Gere y e u de U(0,1).
Se u ≤ f(x) / (30/16), faça x = y; caso contrário, volte ao passo 1.

10) X ~ Beta(a,b). g(x) = 1, d(log f(x)/g(x))/dx = (a-1)/x + (b-1)/(1-x) = 0 → x = (a-1) / (a+b-2). → c = f((a-1)/(a+b-2)) = Γ(a+b) / (Γ(a)Γ(b)) * ((a-1)/(a+b-2))^a-1 * ((b-1)/(a+b-2))^b-1.

Gere Y e u de U(0,1).
Se u ≤ f(x)/c, faça x = y; caso contrário, retorne ao passo 1.

12) X ~ Gama(a,b) usando exponencial. g(x) = λe^-λx, d log(f(x)/g(x))/dx = (a-1)/x - bx - λx = 0 → x = ((a-1)/(λ+b))^1/2. → c = f(((a-1)/(λ+b))^1/2).

Gere Y e u de g(y) = λe^-λy.
Se u ≤ f(x)/c, faça x = y; caso contrário, volte ao passo 1.

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