Análise de Sobrevivência: Interpolação e Testes

Lista 03 - Parte II

1. Interpolação Linear

1. Estimar o tempo de remissão mediano:

• 13 -- 0.516
• tm -- 0.5
• 14 -- 0.4816

Cálculo: (tm - 13) / (14 - 13) = (0.5 - 0.516) / (0.4816 - 0.516). Caso fosse para 90%, usaríamos tm -- 0.9.

2. Estimativas pontuais para S(1.5):

• 1 --- 0.931
• 1.5 --- ^S(1.5)
• 2 --- 0.896

Cálculo: (1.5 - 1) / (2 - 1) = (^S(1.5) - 0.931) / (0.896 - 0.931).

3. Estimativas intervalares (IC) para as estimativas pontuais:

^VAR(^S(1.5)) = (^S(1.5))² * ∑ (t_j < 1.5) d_j / (n_j * (n_j - d_j)).

Teste de Hipóteses

Usando IC assintóticos de Kaplan-Meier (KM), testar a igualdade de S(t=6):

H0: S_p(t=6) = S_g(t=6) vs H1: S_p(t=6) ≠ S_g(t=6).

Obter as estimativas pontuais de KM pela interpolação linear e calcular as variâncias. A estatística de teste Z segue a distribuição normal N(0,1):

Z = [ S_p(6) - S_g(6) ] / {√[Var(S_p(6)) + Var(S_g(6))]} = 4.3

A um nível de 5% de significância, como Z=4.3 está na Região Crítica (RC), rejeitamos H0 e concluímos que há diferença entre as funções de sobrevivência.

Teste Log-Rank

H0: S1(t=6) = S2(t=6) vs H1: S1(t=6) ≠ S2(t=6).

Utilizado para comparar funções de risco h(t). Ordenam-se todos os dados sem censura e sem repetição.

Cálculos:

• O_ij = d_ij (Observado)
• E_ij = n_ij * (d_j / n_j) (Esperado)
• Var_ij = n_ij * (d_j / n_j) * [(n_j - n_ij) / (n_j - 1)]

Estatística: P = [∑(O_ij - E_ij)]² / ∑V_ij. Se P > X²(1; 0.05) = 3.84, rejeitamos H0.

Diferença: Log-Rank, Wilcoxon e Tarone-Ware

O teste Log-Rank atribui pesos iguais a todos os tempos, enquanto o teste de Wilcoxon enfatiza tempos menores. O teste de Tarone-Ware é um intermediário.

Prova: Distribuição Exponencial

Seja t(1),...,t(r) as r primeiras observações ordenadas de uma amostra de tamanho n de uma distribuição exponencial com média θ. Então 2*t/θ ~ X²(2*r).

Para censura do tipo II: T = ∑ T_i + (n-r)*T_r ~ Gama(r, λ), onde θ = 1/λ. Logo, 2*T/θ ~ X²(2*r).