Cálculo Numérico: Erros, Interpolação e Sistemas

Cálculo de Erros Absolutos e Relativos

• Caso 1: Valor exato: 4,5627 | Valor aproximado: 4,6
  Erro Absoluto: 4,6 - 4,5627 = 0,0373
  Erro Relativo: 0,0373 dividido por 4,5627 = 0,0081749... = 0,8175%
• Caso 2: Valor exato: 15,6556 | Valor aproximado: 15,66
  Erro Absoluto: 15,66 - 15,6556 = 0,0044
  Erro Relativo: 0,0044 dividido por 15,6556 = 0,0002810... = 0,0280%

Análise de Erro em Geometria e Custos

• Área do Círculo (Raio = 6,2m | π ≈ 3,142):
  Valor Real (usando π da calculadora): A = π × 6,2² ≈ 120,76282
  Valor Aproximado (usando 3,142): A_aprox = 3,142 × 6,2² = 120,77848
  Erro Absoluto: |120,76282 - 120,77848| = 0,01566 m²
  Erro Relativo: 0,01566 dividido por 120,76282 = 0,00012967... = 0,01297%
• Terreno Retangular (10,18m x 25,79m) | Custo: R$ 800/m²:
  Área Real: 10,18 × 25,79 = 262,5422 m²
  Área Aproximada: 10,1 × 25,7 = 259,57 m²
  Erro de Área (Ea): 262,5422 - 259,57 = 2,9722 m²
  Erro em Dinheiro: 2,9722 × 800 = R$ 2.377,76

Interpolação Linear e Polinomial

• Interpolação Linear: Dados A(1; 0,5) e B(4; 5). Determine o polinômio de 1º grau (fórmula da reta: y = ax + b).
  Inclinação (a): a = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 0,5) / (4 - 1) = 4,5 / 3 = 1,5
  Coeficiente linear (b): Substituindo o ponto (1; 0,5): 0,5 = 1,5(1) + b → b = 0,5 - 1,5 = -1
  Polinômio: P(x) = 1,5x - 1
  Cálculo de Y para X = 2,5: Y = 1,5(2,5) - 1 = 3,75 - 1 = 2,75
  Cálculo de X para Y = 3: 3 = 1,5x - 1 → 4 = 1,5x → x = 4 / 1,5 ≈ 2,67
• Interpolação de Segundo Grau (Método de Lagrange): Dados [X: 5, 10, 15] e [Y: 10, 7, 20].
  L0(x): ((x - 10)(x - 15)) / ((5 - 10)(5 - 15)) = (x² - 25x + 150) / 50
  L1(x): ((x - 5)(x - 15)) / ((10 - 5)(10 - 15)) = (x² - 20x + 75) / -25
  L2(x): ((x - 5)(x - 10)) / ((15 - 5)(15 - 10)) = (x² - 15x + 50) / 50
  Polinômio P2(x): P2(x) = 10[L0(x)] + 7[L1(x)] + 20[L2(x)]
  P2(x) = 0,2(x² - 25x + 150) - 0,28(x² - 20x + 75) + 0,4(x² - 15x + 50)
  Simplificação: Termos x²: 0,32x² | Termos x: -5,4x | Números: 29
  Resposta: P2(x) = 0,32x² - 5,4x + 29
  Valor de Y para X = 13,5: P2(13,5) = 0,32(13,5)² - 5,4(13,5) + 29 = 58,32 - 72,9 + 29 = 14,42

Resolução de Sistemas Lineares via Matrizes

• Sistema 1:
  1x + 4y + 7z = 2
  2x + 3y + 6z = 2
  5x + 1y - 1z = 8
  Resolução: Subtraindo (eq 2) de (eq 1): -x + y + z = 0. Testando valores: Resultado: x = 1; y = 2; z = -1
• Sistema 2:
  x + y + z = 8
  x + 2y + 2z = 6
  x + 4y + 5z = 5
  Resolução: (eq 2 - eq 1) → y + z = -2. Substituindo na eq 1: x + (-2) = 8 → x = 10. Resultado: x = 10; y = -5; z = 3
• Sistema 3:
  x + 3y - z = 0
  2x + y + z = 1
  3x - y + z = 3
  Resolução: Somando (eq 1 + eq 2): 3x + 4y = 1. Subtraindo (eq 3 - eq 2): x - 2y = 2. Resultado: x = 1; y = -0,5; z = -0,5
• Sistema 4:
  2x + y - z = 3
  x + 3y + 2z = 4
  3x - 2y + z = -5
  Resolução: Testando x = 0: y - z = 3 e -2y + z = -5. Da terceira: z = 2y - 5. Substituindo na primeira: y - (2y - 5) = 3 → -y + 5 = 3 → y = 2. Resultado: x = 0; y = 2; z = -1