Equação do 2º grau

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Equação do 2º grau

   Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com equacao2_htm_eqn1.gif.

Exemplos:

Equação

a

b

c

x²+2x+1

1

2

1

5x-2x²-1

-2

5

-1


Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=equacao2_htm_eqn2.gif  »  x= equacao2_htm_eqn3.gif

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de equacao2_htm_eqn4.gif (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²= equacao2_htm_eqn5.gif

          2ax+b=equacao2_htm_eqn6.gif

           2ax=-b equacao2_htm_eqn7.gif

   Logo:
            equacao2_htm_eqn8.gif  ou   equacao2_htm_eqn9.gif

Fórmula de Bháskara:
 

equacao2_htm_eqn10.gif


equacao2_htm_eqn11.gif
 

   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

equacao2_htm_eqn12.gif  = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

equacao2_htm_eqn13.gif = equacao2_htm_eqn14.gif

equacao2_htm_eqn15.gif  e   equacao2_htm_eqn16.gif

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

equacao2_htm_eqn17.gif

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

equacao2_htm_eqn18.gif = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

equacao2_htm_eqn19.gif  »  x=2  

equacao2_htm_eqn20.gif 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (equacao2_htm_eqn21.gif )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

equacao2_htm_eqn22.gif = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

   Note que equacao2_htm_eqn23.gif<0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: equacao2_htm_eqn24.gif » vazio

Propriedades:
 

 equacao2_htm_eqn25.gif

 Duas raízes reais e diferentes

 equacao2_htm_eqn26.gif

 Duas raízes reais e iguais

 equacao2_htm_eqn27.gif

 Nenhuma raiz real


Relações entre coeficientes e raízes
 

equacao2_htm_eqn28.gif

equacao2_htm_eqn29.gif

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com equacao2_htm_eqn30.gif e equacao2_htm_eqn31.gif, suas raízes são:

equacao2_htm_eqn32.gif   e    equacao2_htm_eqn33.gif

A soma das raízes será:

   equacao2_htm_eqn34.gif

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: equacao2_htm_eqn35.gif

O produto das raízes será:

  equacao2_htm_eqn36.gif

        equacao2_htm_eqn37.gif

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
equacao2_htm_eqn38.gif 

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo: equacao2_htm_eqn39.gif

Substituindo por equacao2_htm_eqn40.gif e equacao2_htm_eqn41.gif :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

equacao2_htm_eqn42.gif       equacao2_htm_eqn43.gif

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

equacao2_htm_eqn44.gif   equacao2_htm_eqn45.gif

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

equacao2_htm_eqn46.gif   equacao2_htm_eqn47.gif

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) equacao2_htm_eqn48.gif  Onde equacao2_htm_eqn49.gif, pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então: equacao2_htm_eqn50.gif  

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

equacao2_htm_eqn51.gif » equacao2_htm_eqn52.gif

Aplicando a fórmula de Bháskara:

equacao2_htm_eqn53.gif

equacao2_htm_eqn54.gif

Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}

b ) equacao2_htm_eqn55.gif   equacao2_htm_eqn56.gif e equacao2_htm_eqn57.gif

[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)

Então: equacao2_htm_eqn58.gif

Eliminando os denominadores:

equacao2_htm_eqn59.gif » equacao2_htm_eqn60.gif  »   equacao2_htm_eqn61.gif  »   equacao2_htm_eqn62.gif

* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:

x=-1  » S={-1}

Resolução de equações literais do 2º grau:

   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 

Equação

a

b

c

x² - (m+n)x + p = 0

1

-(m+n)

p


Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0

[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

equacao2_htm_eqn63.gif

equacao2_htm_eqn64.gif , Logo:

x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas

   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 

equacao2_htm_eqn65.gif  onde   equacao2_htm_eqn66.gif


Exemplo resolvido:

1) equacao2_htm_eqn67.gif

Fazendo x² = y , temos equacao2_htm_eqn68.gif  

Substituindo os valores na equação, temos:

y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

equacao2_htm_eqn69.gif

Logo, y = 4  e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:

x²=4  »  equacao2_htm_eqn70.gif    e    x²=1  »   equacao2_htm_eqn71.gif

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente equacao2_htm_eqn72.gif

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