Exercícios de Matemática: Complexos, Polinômios e Médias
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- Área do quadrilátero convexo: Vértices em $3+2i, 3i, -4+i, -2i$, que correspondem aos pontos $(3,2), (0,3), (-4,1), (0,-2)$. Cálculo: $\sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4 \cdot i^2} = \sqrt{2^2 \cdot i^2} = 2i$. A área é dada por $5 \cdot 3/2 + 5 \cdot 4/2 = 17,5$. (Alternativa D)
- Unidade imaginária: Sendo $i$ a unidade imaginária e $m$ um número real, temos $z = \frac{(4+i)(m-i)}{(m+i)(m-i)} = \frac{4m - 4i + im - i^2}{m^2 - i^2} = \frac{4m - 4i + im + 1}{m^2 + 1} = \frac{4m+1 + i(m-4)}{m^2+1}$. Para que o número seja real, $m-4=0$, logo $m=4$. (Alternativa D)
- Argumento principal do número complexo: Para $a = 1$ e $b = \sqrt{3}$, temos $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \Rightarrow |z| = \sqrt{1 + 3} \Rightarrow |z| = \sqrt{4} = 2$. Calculando $\text{sen } x = a/|z|$ e $\cos x = b/|z|$, obtemos $\text{sen } x = 1/2$ e $\cos x = \sqrt{3}/2$. O único quadrante em que seno e cosseno são positivos é o 1º quadrante, resultando em $60^\circ$ ou $\pi/3$.
- Média de idade de um time de futebol: Com 11 jogadores, a soma das idades é dada por $\frac{x_1+x_2...}{11}$. Cálculo: $x_1+x_2 = 11 \cdot 24 - 35 = 264 - 35 = 229$, resultando em uma média de $22,9$. (Alternativa D)
- Medidas descritivas de notas: Considere as medidas das notas finais de três turmas. Resposta: Letra D.
- Média aritmética de 5 números inteiros distintos: $\frac{a+b+c+d+e}{5} = 16 \Rightarrow \frac{3+2+3+4+e}{5} = 16 \Rightarrow 10+e = 80 \Rightarrow e = 70$. (Alternativa D)
- Cotação mensal de ovo extra branco: Dados: $73, 81, 83, 84, 84,6, 85,3$. Resposta correta: Letra D.
- Média ponderada de provas de matemática: $\frac{(6,5 \cdot 1) + (7,3 \cdot 2) + (x \cdot 2) + (6,2 \cdot 2)}{10} = 7,3 \Rightarrow 6,5 + 14,6 + 22,5 + 2x + 12,4 = 73 \Rightarrow 2x = 73 - 6,5 - 14,6 - 22,5 - 12,4 \Rightarrow 2x = 17 \Rightarrow x = 8,5$. (Alternativa B)
- Quadro de medalhas e variância: $V = \frac{1^2 + 2^2 + (-1)^2 + 2^2 + 0^2 + 0^2}{6} = 10/6 \Rightarrow d = \sqrt{10/6} = \sqrt{5/3}$. (Alternativa E)
- Número natural N de três algarismos: $abc - 396 = cba$ e $a + c = 8$. Expandindo: $100a + 10b + c - 396 = 100c + 10b + a \Rightarrow 99a - 99c = 396 \Rightarrow a - c = 4$. Sistema: $a - c = 4$ e $a + c = 8 \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6$. (Alternativa C)
- Equação polinomial $4x^3 + kx^2$: Relação de raízes $r_1 + r_2 + r_3 = -b/a \Rightarrow (+a) + (-a) + r_3 = -k/4$. Substituindo: $4 \cdot (-k/4) + k \cdot (k/4) - (-k/4) + 3 = 0 \Rightarrow k/4 = -3/1 \Rightarrow k = -12$. (Alternativa C)
- Raízes do polinômio $P(x) = x^3 - 19x$: O produto das raízes é $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = -d/a = -(-140)/1 = 140$. (Alternativa A)
- Soma dos quadrados das raízes da equação $2x^3 - 8x^2$: Utilizando $\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{64}{4} - \frac{2 \cdot (-4)}{2} = \frac{64}{4} + 4 = \frac{64}{4} + \frac{16}{4} = 20$. (Alternativa B)
- Equação de coeficientes reais $3x^3 - 5x^2$: Se $r_1 = 2/3 + 5i$, então $r_2 = 2/3 - 5i$. Pela soma das raízes: $2/3 + 5i + 2/3 - 5i + r_3 = -(-5)/3 \Rightarrow 4/3 + r_3 = 5/3 \Rightarrow r_3 = 1/3$.
- Vôlei masculino brasileiro: a) Média $= 7,94$; Variância $V = \frac{0,01 + 0,0016 + 0,0004 + 0,0001 + 0,0016 + 0,001}{6} = 0,00395$. b) O valor diminui.
- Graus de polinômios: Se $G(P) = 7$ e $G(H) = 9$, então $G(P-H) = 9$. Se $G(F) = 5$, então o grau do produto $G[F \cdot (P-H)] = 5 + 9 = 14$.