Exercícios de Mecânica dos Fluidos: Vazão e Reynolds

Exercícios Resolvidos de Mecânica dos Fluidos

1. O engenheiro de manutenção constatou um vazamento em um trecho de uma dada instalação esquematizada a seguir. Sabendo-se que o escoamento na seção (1) é laminar e que em (2) e (3) é turbulento, pede-se:

• a) As velocidades médias nas seções (1), (2) e (3);
• b) O número de Reynolds nas seções (1), (2) e (3);
• c) Especificar o sentido da vazão na seção (2), justificando;
• d) A vazão do vazamento em L/s.

Dados:

• D₁ = 38,1 mm
• D₂ = 15,6 mm
• D₃ = 26,6 mm
• ν = 10^-5 m²/s
• V_max1 = 1 m/s
• V_max3 = 2 m/s

Resolução:

a) Velocidades Médias:

Para escoamento (1) laminar:
V_med = 0,5 * V_max
V_med1 = 0,5 * (1) = 0,5 m/s

Para escoamentos (2) e (3) turbulentos:
V_med = (49/60) * V_max
V_med3 = (49/60) * (2) = 1,63 m/s
V_max2 = 3,3 m/s (dado)
V_med2 = (49/60) * (3,3) = 2,695 m/s

b) Cálculo de Reynolds:

Re = (V * D) / ν
Re₁ = (0,5 * 38,1 * 10^-3) / 10^-5 → Re₁ = 1905
Re₂ = (2,695 * 15,6 * 10^-3) / 10^-5 → Re₂ = 4204,2
Re₃ = (1,63 * 26,6 * 10^-3) / 10^-5 → Re₃ = 4335,8

c) Sentido da Vazão:

Q₁ = A₁ * V₁ → Q₁ = (π/4) * (38,1 * 10^-3)² * 0,5 → Q₁ = 5,7 * 10^-4 m³/s
Q₃ = A₃ * V₃ → Q₃ = (π/4) * (26,6 * 10^-3)² * 1,63 → Q₃ = 9,06 * 10^-4 m³/s
Como Q₃ > Q₁, a vazão em (2) tem sentido para dentro do cano para igualar as vazões que entram e saem.

d) Vazamento:

Q₁ + Q₂ = Q₃ + Q_vaz
Q₂ = A₂ * V₂ = (π/4) * (15,6 * 10^-3)² * 2,695 = 5,15 * 10^-4 m³/s
5,7 * 10^-4 + 5,15 * 10^-4 = 9,06 * 10^-4 + Q_vaz
Q_vaz = 1,79 * 10^-4 m³/s → Q_vaz = 0,179 L/s

2. O esquema a seguir corresponde à seção longitudinal de um canal de 15 cm de largura. Admitindo que o escoamento é bidimensional e sendo o diagrama de velocidades dado por v = 28y - 1,2y² (y em cm e v em cm/s), bem como o líquido de peso específico relativo igual a 0,90 e viscosidade cinemática igual a 8 * 10^-5 m²/s, pede-se:

• a) A velocidade média na seção no SI;
• b) A vazão em massa na seção no SI.

Dados:

• γ_padrão = 9800 N/m³
• g = 9,8 m/s²
• h = 5 cm

Resolução:

a) Velocidade Média:

V_med = (1/A) ∫ V dA → V_med = [1/(b*h)] ∫ (28y - 1,2y²)b dy
V_med = (1/h) * [28y²/2 - 1,2y³/3] (de 0 a h) → V_med = (1/h) * (14h² - 0,4h³)
V_med = 14h - 0,4h² para h = 5 cm
V_med = 14 * (5) - 0,4 * (5)² = 60 cm/s → V_med = 0,6 m/s

b) Vazão em Massa:

γ_rel = 0,9 → γ = 0,9 * 9800 = 8820 N/m³
ρ = γ / g = 8820 / 9,8 = 900 kg/m³
Q = A * v = (0,15 * 0,05) * 0,6 = 4,5 * 10^-3 m³/s
Q_m = ρ * Q = 900 * 4,5 * 10^-3 → Q_m = 4,05 kg/s

3. Dado o trecho de uma instalação hidráulica esquematizado a seguir, onde se transporta água e o diâmetro interno é constante, igual a 52,5 mm, pede-se:

• a) A altura manométrica da bomba;
• b) A vazão de escoamento na instalação, sabendo que o nível do tanque, de área de seção transversal igual a 1 m², subiu 20 cm em 100 s;
• c) A potência da bomba, sabendo-se que o seu rendimento é igual a 70%.

Resolução:

a) Altura Manométrica:

H₁ + H_B = H₂. Como Z₁ = Z₂ e V₁ = V₂ (diâmetro constante):
H_B = (P₂ - P₁) / γ_H₂O
Equação manométrica: P₁ + x*γ_H₂O + 2*γ_Hg - 2*γ_H₂O - x*γ_H₂O = P₂
P₂ - P₁ = 2 * (γ_Hg - γ_H₂O) = 2 * (13600 - 1000) = 25200 kgf/m²
H_B = 25200 / 1000 → H_B = 25,2 m

b) Vazão de Escoamento:

V = A * h = 1 * 0,2 = 0,2 m³
Q = V / t = 0,2 / 100 = 2 * 10^-3 m³/s → Q = 2 L/s

c) Potência:

N = (γ_H₂O * Q * H_B) / η = (1000 * 2 * 10^-3 * 25,2) / 0,7 = 72 kgf·m/s
N = 0,96 cv

4. A pressão no ponto (5) do sifão abaixo é 24.500 N/m² (abs). Sabendo que a perda de carga (A)-(5) é igual a 0,8 m e que a perda de (5)-(B) é igual a 1,2 m, determine:

• a) A velocidade média do fluido no SI;
• b) A vazão em massa e em peso que sai pelo sifão;
• c) A classificação do escoamento segundo Reynolds no sifão;
• d) A velocidade máxima do fluido no sifão;
• e) A altura do ponto (5) em relação ao ponto (A).

Dados:

• D_int = 26,6 mm
• P_atm = 98000 N/m²
• g = 9,8 m/s²
• γ = 9800 N/m³
• ν = 10^-6 m²/s

Resolução:

a) Velocidade Média:

H_A = H_B + HP_A,B
Z_A + (P_A/γ) + (V_A²/2g) = Z_B + (P_B/γ) + (V_B²/2g) + HP_A,B
Considerando P_A = P_B = P_atm, V_A = 0, Z_B = 0 e Z_A = 4,29 m:
4,29 = (V_B² / 19,6) + 2 (onde HP = 0,8 + 1,2 = 2 m)
V_B² / 19,6 = 2,29 → V_B = 6,7 m/s

b) Vazão em Massa e Peso:

ρ = γ / g = 9800 / 9,8 = 1000 kg/m³
Q_m = ρ * A * V = 1000 * (π/4) * (26,6 * 10^-3)² * 6,7 → Q_m = 3,72 kg/s
Q_G = Q_m * g = 3,72 * 9,8 → Q_G = 36,45 N/s

c) Classificação de Reynolds:

Re = (V * D) / ν = (6,7 * 26,6 * 10^-3) / 10^-6 = 178220
Como Re > 2400, o escoamento é Turbulento.

d) Velocidade Máxima:

V_med = (49/60) * V_max → 6,7 = (49/60) * V_max → V_max = 8,2 m/s

e) Altura do Ponto (5):

H_A = H_S + HP_A,S (Referencial em A)
0 + (98000 / 9800) + 0 = Z_S + (24500 / 9800) + (6,7² / 19,6) + 0,8
10 = Z_S + 2,5 + 2,3 + 0,8 → Z_S = 4,4 m

5. Na instalação da figura, a máquina M2 fornece ao fluido uma energia por unidade de peso de 30 m e a perda total do sistema é 15 m. Determinar:

• a) A potência da máquina M1, sendo η = 0,8;
• b) A pressão na seção (2) em m.c.a.;
• c) A perda de carga no trecho (2)-(5) da instalação.

Dados:

• Q = 20 L/s
• γ = 10⁴ N/m³
• g = 10 m/s²
• A = 10 cm²
• P₀ = 0,25 MPa; P₁ = 0,2 MPa; P₅ = 0,4 MPa

Resolução:

a) Potência de M1:

H₀ = 10 + (0,25 * 10⁶ / 10⁴) = 35 m
H₅ = 5 + (0,4 * 10⁶ / 10⁴) = 45 m
H₅ + H_M1 + H_M2 = H₀ + HP → 45 + H_M1 + 30 = 35 + 15 → H_M1 = -25 m (Turbina)
N_T = Q * |H_M1| * γ * η = 20 * 10^-3 * 25 * 10⁴ * 0,8 = 4000 Nm/s → N_T = 4 kW

b) Pressão na Seção 2:

H₂ + H_M1 = H₁ → (P₂/γ) - 25 = (0,2 * 10⁶ / 10⁴) → P₂/γ = 20 + 25 = 45 m.c.a.

c) Perda de Carga (2)-(5):

V = Q / A = (20 * 10^-3) / (10 * 10^-4) = 20 m/s
H₂ = Z₂ + (P₂/γ) + (V²/2g) = 5 + 45 + (20² / 20) = 70 m
H₅ + H_M2 = H₂ + HP₅₋₂ → 45 + 30 = 70 + HP₅₋₂ → HP₅₋₂ = 5 m

6. Na instalação da figura, a carga total na seção (2) é de 12 m. Nessa seção, existe um piezômetro que indica 5 m. Determinar:

• a) A vazão;
• b) A pressão em (1);
• c) A perda de carga ao longo de toda a tubulação;
• d) A potência que o fluido recebe da bomba.

Dados:

• γ_H₂O = 10⁴ N/m³
• D₁ = 6 cm; D₂ = 5 cm; γ_Hg = 1,36 * 10⁵ N/m³
• h = 1 m

Resolução:

a) Vazão:

H₂ = Z₂ + (P₂/γ) + (V₂²/2g) → 12 = 2 + 5 + (V₂²/20) → V₂ = 10 m/s
Q = A₂ * V₂ = (π/4) * (0,05)² * 10 → Q = 0,02 m³/s

b) Pressão em (1):

P₂ = 5 * 10⁴ N/m²
P₁ + x*γ_H₂O + 1*γ_Hg - 1*γ_H₂O - x*γ_H₂O = P₂
P₁ = 5*10⁴ - 1,36*10⁵ + 10⁴ = -7,6 * 10⁴ Pa → P₁ = -76 kPa

c) Perda de Carga:

V₁ = (A₂/A₁) * V₂ = (5/6)² * 10 = 6,94 m/s
H_B = (P₂ - P₁)/γ + (V₂² - V₁²)/2g = (5*10⁴ - (-7,6*10⁴))/10⁴ + (10² - 6,94²)/20 = 15,2 m
H₀ + H_B = H₃ + HP → 6 + 15,2 = 0 + HP → HP = 21,2 m

d) Potência:

N = γ * Q * H_B = 10⁴ * 0,02 * 15,2 = 3040 Nm/s → N = 3,04 kW

7. Dado o dispositivo da figura, pede-se:

• a) A diferença de pressão entre as seções (1) e (2);
• b) A vazão do escoamento em L/s;
• c) A perda de carga entre as seções (1) e (2);
• d) O tipo de escoamento nas seções (1) e (2).

Dados:

• γ_H₂O = 9800 N/m³; ν = 10^-6 m²/s; g = 9,8 m/s²
• γ_M = 136000 N/m³
• D₁ = 52,5 mm; A₁ = 21,7 cm²; P₀ = 2000 Pa
• D₂ = 40,8 mm; A₂ = 13,1 cm²

Resolução:

a) Diferença de Pressão:

P₁ - P₂ = 0,1 * (γ_M - γ_H₂O) = 0,1 * (136000 - 9800) → P₁ - P₂ = 12620 Pa

b) Vazão:

H₁ = H₀ → (P₁/γ) + (V₁²/2g) = 4,08 (onde H₀ = Z₀ + P₀/γ = 4 + 2000/9800)
P₁ = 12620 + 20000 = 32620 Pa
(32620/9800) + (V₁²/19,6) = 4,08 → V₁ = 3,83 m/s
Q = A₁ * V₁ = 21,7 * 10^-4 * 3,83 → Q = 8,31 L/s

c) Perda de Carga:

V₂ = (A₁/A₂) * V₁ = (21,7/13,1) * 3,83 = 6,34 m/s
HP₁₋₂ = (P₁ - P₂)/γ + (V₁² - V₂²)/2g = (12620/9800) + (3,83² - 6,34²)/19,6 ≈ 0 m

d) Tipo de Escoamento:

Re₁ = (3,83 * 0,0525) / 10^-6 = 201075 (Turbulento)
Re₂ = (6,34 * 0,0408) / 10^-6 = 258672 (Turbulento)

8. Calcular a vazão de água num conduto de concreto sendo dados: D = 20 cm; ν = 0,7 * 10^-6 m²/s e sabendo-se que dois manômetros instalados a uma distância de 50 metros indicam respectivamente: 1,55 kgf/cm² e 1,31 kgf/cm²; k = 3 * 10^-4 m.

Resolução:

HP = (P₁ - P₂) / γ = (1,55 * 10⁴ - 1,31 * 10⁴) / 1000 = 2,4 m
Usando Moody-Rouse: Re√f = (D/ν) * √((2g * HP * D) / L)
Re√f = (0,2 / 0,7*10^-6) * √((2 * 10 * 2,4 * 0,2) / 50) = 1,25 * 10⁵
D/k = 0,2 / 3*10^-4 = 666,66
Do diagrama, f = 0,0215.
V = √((2g * HP * D) / (f * L)) = √((2 * 10 * 2,4 * 0,2) / (0,0215 * 50)) = 2,98 m/s
Q = (π/4) * (0,2)² * 2,98 = 0,0936 m³/s → Q = 93,6 L/s