Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial e Teorema de Green

Fórmulas de Fluxo, Circulação e Trabalho

Fluxo de F sobre C: ∮ F.N dt = ∫∫ div(f)dA = ∫∫ (Mx + Ny)dA

1. O valor do trabalho W realizado pelo campo vetorial F = (x²y³ + 2x³ + 5y)i + (x³y² + 10x + 3y)j sobre uma partícula durante uma volta completa desta sobre a elipse (c) de equação: 4x² + 9y² = 36.
   OBS: Por ser elipse, primeiramente deve-se parametrizar para extrair a área dela, ou seja: 4x²/36 + 9y²/36 = 36/36 → x²/9 + y²/4 = 1.
   a = √9 = 3
   b = √4 = 2
   My = 3x²y² + 5 | Nx = 3x²y² + 10
   ∮ F dR = ∫∫ (Nx - My)dA = ∫∫ (3x²y² + 10 - 3x²y² - 5) dA = ∫∫ 5dA =
   5 ∫∫ 1dA = 5 · (área de γ) = 5 · (a · b · ) = 5 · (3 · 2 · ) = 30
   
2. A curva C(t) = cos(t)i + sen(t)j com 0 ≤ t ≤ 2 é uma curva fechada e suave. Assinale a alternativa que contém um vetor normal externo à curva C no ponto t = 1/2.
   C'(t) = -sen(tπ)π, cos(tπ)π
   C'(t) = -π · sen(tπ), π · cos(tπ)
   C'(1/2) = -π · sen(π/2), π · cos(π/2)
   C'(1/2) = -π, 0
   N = (0, )
   
3. O Rotacional de um campo vetorial F = M(x,y)i + N(x,y)j em ℜ² é um vetor do ℜ³ definido por rot(F) = (Nx - My)k. Com relação ao campo vetorial F = (x²y + y²cos x)i + (xy² + 2ysen x)j, determine o Rot(F(2,3)).
   Nx = y² + 2y cos x | My = x² + 2y cos x
   Rot(F) = (y² + 2y cos x) - (x² + 2y cos x)
   Rot(F) = y² + 2y cos x - x² - 2y cos x
   Rot(F) = y² - x²
   Rot(2,3) = 3² - 2² = 9 - 4 = 5
   
4. Mostre que a E.D.O (2xy² + 2x + 2y)dx + (2x²y + 2x + 2y)dy = 0 é exata e assinale a que contém a sua solução.
   E.D.O exata → Nx = My
   My = 4xy + 2 | Nx = 4xy + 2
   Solução da E.D.O: Integrar M em x e N em y:
   x²y² + x² + 2xy | x²y² + 2xy + y²
   f(x,y) = x²y² + 2xy + x² + y² = C
   
5. O valor da integral de linha ∮ (x² - y²)dx, onde C é a curva orientada no sentido anti-horário sobre a fronteira do retângulo de vértices A(1,1), B(3,1), C(3,5) e D(1,5) é:
   ∮ (x² - y²)dx = ∫∫ (Nx - My) dA = ∫(de 1 a 3) ∫(de 1 a 5) (0 - (-2y)) dy dx =
   ∫(de 1 a 3) ∫(de 1 a 5) 2y dy dx = ∫(de 1 a 3) [y²](de 1 a 5) dx = ∫(de 1 a 3) (5² - 1²) dx = ∫(de 1 a 3) 24 dx =
   24x | (de 1 a 3) = 24(3 - 1) = 48
   
6. A solução do P.V.I (4x³ + 6x²)dx - (8y³ + 12y²)dy = 0 com y(1) = 1 é uma equação do tipo f(x,y) + C = 0, onde os coeficientes dos termos na variável x são positivos. Determine o valor de C.
   y(1) = 1 → x = 1, y = 1
   ∫(4x³ + 6x²)dx - ∫(8y³ + 12y²)dy = 0
   (x⁴ + 2x³) - (2y⁴ + 4y³) + C = 0
   1⁴ + 2(1)³ - 2(1)⁴ - 4(1)³ + C = 0
   1 + 2 - 2 - 4 + C = 0
   C = 3
   
7. Sendo F = 3xy²i + 9x²yj e seja C uma curva fechada, seccionalmente suave, orientada no sentido anti-horário sobre a fronteira do polígono dado nos itens abaixo:
   a) ∮ F.N dt, onde N é o vetor normal à curva C no ponto t, com C definido sobre o polígono de vértices A(0,2), B(2,2), C(2,4), D(0,4).
   ∫∫ div(F) dA = ∫∫ (Mx + Ny)dA
   Mx = 3y² | Ny = 9x²
   ∫(de 0 a 2) ∫(de 2 a 4) (3y² + 9x²) dy dx = 160
   
   b) ∮ F.T dt, onde T é o vetor tangente à curva C no ponto t, com C definido sobre o polígono de vértices A(0,0), B(2,0), C(2,4).
   Em x varia de 0 a 2; em y varia de 0 até a reta y = 2x.
   Nx = 18xy | My = 6xy
   ∫(de 0 a 2) ∫(de 0 a 2x) (18xy - 6xy) dy dx = 96