Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo e Circuitos

Exercício 1: Dimensão e Unidades do Campo Elétrico

Escreva a dimensão do campo elétrico e as respetivas unidades do SI.

[E] = [F] / [q]
= [m][a] / (I · T)
= (M · L · T^-2) / (I · T)
= M · L · T^-2 · I^-1 · T^-1
= M · L · T^-3 · I^-1

Exercício 2: Distância entre Cargas Pontuais

Qual deve ser a distância entre a carga pontual q₁ = 16,3 µC e a q₂ = -37,1 µC para que a força elétrica atrativa entre elas tenha uma intensidade de 5,66 N?

• q₁ = 16,3 x 10^-6 C
• q₂ = -37,1 x 10^-6 C
• F = 5,66 N

F_e = K · |q₁ · q₂| / R²
R² = (K · |q₁ · q₂| / F_e)
R = 0,98 mm

Exercício 3: Campo Elétrico e Potencial em um Quadrado

Calcule o valor do campo elétrico (e do potencial) no centro do quadrado representado na figura 1. Suponha que q = 11,3 µC e a = 13,6 cm e que as cargas estejam em repouso. Determine a força elétrica que atua na carga situada no vértice inferior esquerdo.

q = 11,5 x 10^-6 C
a = 0,136 m
hip² = (a/2)² + (a/2)²
hip = 0,096 m
tg(X) = a/a → X = 45º
K = 9 x 10⁹ N·m²/C²

E₁ = (K · q₁ / R²) · (cos - sen) = 7,8 x 10⁶e_x - 7,8 x 10⁶e_y N/C
E₂ = (K · q₂ / R²) · (cos + sen) = 7,8 x 10⁶e_x + 7,8 x 10⁶e_y N/C
E₃ = (K · q₃ / R²) · (cos - sen) = 1,56 x 10⁷e_x - 1,56 x 10⁷e_y N/C
E₄ = (K · q₄ / R²) · (cos + sen) = 1,56 x 10⁷e_x - 1,56 x 10⁷e_y N/C
E = E₁ + E₂ + E₃ + E₄
E = 4,68 x 10⁷ N/C

Exercício: Campo Elétrico em q₃

Campo elétrico em q₃ devido às cargas q₁, q₂ e q₄.

F₃ = q₃ · E₃
hip² = a² + b² → hip = 5,39 x 10^-6 m
tg(X) = (a/2) / (b/2) = 21,8º
F₁₃ = (K · q₁ · q₃ / r₁₃) · (cos - sen) = 5,76 x 10⁸ - 2,29 x 10⁶ N
F₂₃ = K · q₂ · q₃ / r₂₃ = 6,75 x 10⁹e_y N
F₄₃ = -K · q₄ · q₃ / r₄₃ = -1,44 x 10⁹e_x N
F₃ = F₁₃ + F₂₃ + F₄₃ = -8,64 x 10⁸e_x + 6,52 x 10⁹e_y N
E₃ = F₃ / q₃ = -9,64 x 10¹⁴e_x + 6,52 x 10¹⁵ N/C

Exercício: Energia Interna do Sistema

Determine a energia interna desse sistema de cargas.

U = K · q₁ · q₂ / r₁₂ + K · q₁ · q₃ / r₁₃ + K · q₁ · q₄ / r₁₄ + K · q₂ · q₃ / r₂₃ + K · q₂ · q₄ / r₂₄ + K · q₃ · q₄ / r₃₄
= .........

Exercício 4: Equilíbrio de Forças com Terceira Carga

Duas cargas fixas de 10,7 µC e -34,1 µC estão a 673 mm de distância entre si. Onde se pode colocar uma terceira carga de modo que nenhuma força resultante atue sobre ela?

.------.__________.
x   +q₁         -q₂

q₁ = 10,7 x 10^-6 C
q₂ = -34,1 x 10^-6 C
r = 0,672 m
E₁ + E₂ = 0 → E₁ = -E₂
K · q₁ / R_1p² = -K · q₂ / R_2p²
K · q₁ / x² = K · q₂ / (x + d)²
Função polinomial: x = -0,24 V x = 0,856 m
Resposta: x = 0,856 m

Exercício 5: Pêndulo Elétrico e Pequenos Ângulos

Penduraram-se duas bolas semelhantes, de massa m e carga q, a fios de seda de comprimento L. (a) Considerando θ muito pequeno, mostre que no equilíbrio x = (q²L / 2πε₀mg)^1/3, em que x é a separação entre as bolas. (b) Se L = 123 cm, m = 10,2 g e x = 3,6 cm, qual é o valor de q?

L = 132 x 10^-2 m; m = 10,2 x 10^-2 kg; x = 3,6 x 10^-2 m
a) k = 1 / (4πε₀); F_e = K · q₁ · q₂ / r²
T · cos(θ) = F_g; T · sen(θ) = F_e
tg(θ) = F_e / F_g = K · q² / (x² · m · g)
Para θ pequeno: tg(θ) ≈ sen(θ) = (x/2) / L
x / 2L = K · q² / (x² · m · g) → x³ = L · q² / (πε₀mg)
x = (q²L / 2πε₀mg)^1/3
b) q² = x³ · m · g / (2 · L · K) → q = 14,0 nC

Exercício 6: Força Eletrostática entre Íons

A força eletrostática entre dois íons idênticos separados por uma distância de 0,5 nm é de 3,7 nN. Determine a carga e o número de elétrons em falta em cada íon.

F_e = 3,7 x 10^-9 N; r = 0,5 x 10^-9 m
Como q₁ = q₂: F_e = K · q² / r²
q² = F_e · r² / K → q = 3,2 x 10^-19 C
q_e (carga do elétron) = 1,6 x 10^-19 C
nº = q / q_e = 2 elétrons

Exercício 6-1: Campo Elétrico Máximo em um Anel

A que distância ao longo do eixo de um anel de raio R a intensidade do campo elétrico axial é máxima?

E = K · Q · Z / (R² + Z²)^3/2
dE/dZ = [K · Q · (R² + Z²)^3/2 - 3/2(2Z)(R² + Z²)^1/2 · K · Q · Z] / (R² + Z²)³
dE/dZ = 0 → R² - 2Z² = 0
Z = (√2 / 2) · R

Exercício 7: Movimento de um Elétron em Campo Uniforme

Um elétron é lançado com velocidade v₀ = 5,83 x 10⁶ m/s segundo um ângulo θ = 39º. O campo elétrico E entre as placas é dirigido para cima e vale 1870 N/C. A distância entre placas é 1,97 cm. Qual altura será atingida e a que distância da posição inicial?

m_e = 9,1 x 10^-31 kg; θ = 39º; E = 1870 N/C; d = 1,97 x 10^-2 m; q_e = -1,6 x 10^-19 C
F_r = m · a → E · q = m · a → a = -3,29 x 10¹⁴ m/s²
V_y = V₀ · sen(θ) - a · t → 0 = V₀ · sen(θ) - a · t → t = 1,12 x 10^-8 s
Y = Y₀ + V₀ · t - 1/2 · a · t² = 0,0204 m (ultrapassa a placa)
x = V₀ · cos(39º) · t = 2,4 cm

Lei de Gauss

Exercício 8: Fluxo Elétrico em um Cubo

Um cubo com 1,4 m de aresta está numa região de campo elétrico uniforme. Calcule o fluxo através da face direita se E (N/C) for: (a) 6i, (b) -2j, (c) -3i + 4k. Calcule o fluxo total.

a) Φ = 0 (linhas paralelas à face)
b) Φ = A · E = (1,4 · 1,4) · (-2) = -3,92 N·m²/C
c) Φ = 0
d) Fluxo total Φ_total = Φ₁ + Φ₂ = 3,92 - 3,92 = 0

Exercício 9: Densidade de Carga em Placa Isolante

Esfera com m = 1,12 mg e q = 19,7 nC pendurada por fio de seda (θ = 27,4º) próxima a uma placa carregada. Calcule a densidade superficial σ.

T_y = T · cos(θ); T_x = T · sen(θ); F_e = E · q
T · cos(θ) = m · g → T = 0,0126 N
T · sen(θ) = E · q → E = 294.340,9 N/C
E = σ / (2ε₀) → σ = E · 2ε₀ = 5,2 x 10^-6 C/m²

Exercício 10: Esferas Ocas Concêntricas

Raios de 12,3 cm e 16 cm. Cargas: interna = 50,6 nC, externa = 22,5 nC. Determine E e V em: (a) r = 13 cm, (b) r = 23 cm, (c) r = 7,18 cm.

a) r = 13 cm: E = K · q_i / r² = 2,69 K N/C; V = K · q_i / r + K · q_e / r₂ = 4,8 kV
b) r = 23 cm: E = K · (q_i + q_e) / r² = 12,4 K N/C; V = K · (q_i + q_e) / r = 2,9 kV
c) r = 7,18 cm: E = 0; V = K · q_i / r₁ + K · q_e / r₂ = 5,0 kV

Exercício 11: Fio Coaxial e Cilindro

Fio com λ = -3,40 nC/m envolvido por cilindro de raio 1,5 cm. Determine a densidade volumétrica ρ para que E = 0 fora do cilindro.

λ = -3,40 x 10^-9 C/m; r = 1,5 x 10^-2 m
q = ρ · V = ρ · π · r² · L
E · A = Q / ε₀ → E · 2πrL = ρπr²L / ε₀ → E = ρr / (2ε₀)
Para o fio: E = λ / (2πε₀r)
ρ = λ / (π · r²) = 4,8 x 10^-6 C/m³

Exercício 12: Carga em Cavidade Metálica

Carga q = 162 nC no centro de uma cavidade de raio 4,78 cm em metal. Determine E.

a) E = K · q / r² = 2,6 x 10⁶ N/C
b) No interior do metal: E = 0

Exercício 13: Cilindros Coaxiais Carregados

Raios 3,12 cm e 7,23 cm. σ₁ = 25,9 µC/m² e σ₂ = -17,6 µC/m². Calcule E em (a) r = 4,46 cm e (b) r = 9,15 cm.

a) r = 4,46 cm: E = (σ₁ · R₁) / (ε₀ · r) = 2,1 x 10⁶ N/C
b) r = 9,15 cm: E = (σ₁R₁ + σ₂R₂) / (ε₀ · r) = -6,8 x 10⁵ N/C

Exercício 14: Trabalho para Reunir Cargas

(a) Trabalho para reunir quatro cargas (q = 10,6 µC) em um quadrado de lado a = 1,5 cm. (b) Trabalho para trazer Q = 23 µC do infinito ao meio da aresta direita.

a = 1,5 cm; q = 10,6 µC; h = √(a² + a²) = 2,12 cm
W = ΔU = K · [q²/a + q²/a + q²/a + q²/a + q²/h + q²/h]
W = -174,2 J

Exercício 15: Potencial em Retângulo

Lados de 5 cm e 15 cm. q₁ = -5 µC, q₂ = 2 µC. (a) Potenciais em A e B. (b) Trabalho para mover q₃ = 3 µC de B para A.

a) V_a = K · q₁ / r₁ + K · q₂ / r₂ = 60 kV
V_b = K · q₁ / r₂ + K · q₂ / r₁ = -78 x 10⁴ V
b) W = q₃ · (V_a - V_b) = 2,52 J

Exercício 16: Condutor Cilíndrico Oco

Raio interno a = 2 cm, externo b = 4 cm. Cavidade preenchida com ρ = 2 µC/cm³. Determine E para r = 1 cm e 5 cm.

E = ρ · r / (2ε₀) = 1,1 x 10⁹ N/C (para r=1cm)
E = σ · R / (ε₀ · r) = 0,9 x 10⁹ V/m (para r=5cm)

Exercício 17: Superfícies Equipotenciais

Placa com σ = 0,12 µC/m². Distância entre superfícies com ΔV = 48 V.

E = σ / ε₀; E = ΔV / d → d = ε₀ · ΔV / σ
d = 7,1 mm

Exercício 18: Lugar Geométrico de Potencial Nulo

q₁ = +6e em (0,0), q₂ = -10e em (9,6 nm, 0). Encontre o centro X_c e o raio R do círculo onde V = 0.

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
V_p = K · 6e / x_p + K · (-10e) / (x_p + 9,6 x 10^-9) = 0

Exercício 19: Placas Metálicas Paralelas

Distância d = 1,48 cm. Potencial no ponto médio é 5,52 V. Qual o campo elétrico?

E = ΔV / d = 746 V/m

Exercício 20: Gráfico de Campo e Potencial

Esfera oca de 20 cm com 3 µC. Esboço de E e V em função de r.

  V |_____: 
    |     : \
    |     :  \
  E |   2 :\  \
    |     :  \ 3 \
    |__________________
          20cm

1. V = Kq/r | 2. E = Kq/r²

Exercício 21: Conexão de Esferas Condutoras

Raios 5,87 cm e 13,2 cm, ambas com 25,6 nC. Após conectadas por fio, qual a carga final?

V₁ = V₂ → K · q₁' / r₁ = K · q₂' / r₂
q_total = 51,2 nC → q₂' = 3,5 x 10^-8 C; q₁' = 1,58 x 10^-8 C
V = 2,42 kV

Exercício 22: Potencial em Esfera de Metal

Raio 15,4 cm, carga 30,8 nC. (a) Potencial na superfície. (b) Distância onde V diminui 340 V.

a) V = Kq/r = 1800 V
b) V_final = 1800 - 340 = 1460 V → x = Kq / V = 0,1899 m
d = x - r = 0,0358 m

Exercício 24: Esferas Concêntricas e Aterramento

Raios 2 cm e 4 cm. Cargas 12 nC e 20 nC.

a) V_i = 9,9 kV; V_e = 7,2 kV
b) V(1cm) = 9,9 kV; V(3cm) = 8,1 kV; V(5cm) = 5,76 kV
c) Exterior à terra (V_e=0): V_i = 2,7 kV
d) Interior à terra (V_i=0): V_e = 2,25 kV

Exercício 25: Contato entre Esferas

Raios 0,1 cm e 0,15 cm. Cargas 10^-7 C e 2 x 10^-7 C. Calcule a carga final.

q_t = 3 x 10^-7 C; V₁ = V₂ → q₁/r₁ = q₂/r₂
q₂ = 1,8 x 10^-7 C; q₁ = 1,2 x 10^-7 C

Condensadores

Exercício 27: Associação de Condensadores

C₁ = 1,16 µF, C₂ = 3,2 µF carregados a 100 V com polaridades opostas. Qual a d.p. final e cargas?

ΔV_ef = (C₁ - C₂) / (C₁ + C₂) · ΔV = -47 V
q₁ = 5,45 x 10^-5 C; q₂ = 1,51 x 10^-5 C

Exercício 28: Circuito com Bateria e Interruptores

Bateria de 12 V. C₁=1µF, C₂=2µF, C₃=3µF, C₄=4µF. Cargas com S1 e S2 fechados.

a) S1 fechado: q₃ = 9 µC; q₁ = 9 µC; q₄ = 16 µC; q₂ = 16 µC
b) S2 fechado: q₁ = 8,4 µC; q₂ = 16,8 µC; q₃ = 10,7 µC; q₄ = 14,3 µC

Exercício 29: Dielétrico de Cera

Capacidade inicial 1,32 pF. Distância dobra e preenche-se com cera. Nova capacidade 2,57 pF. Determine K.

K = 2 · C' / C = 3,89

Exercício 30: Escolha de Dielétrico

C = 7,4 pF. Energia 6,61 µJ a 630 V. Qual o K?

W = 1/2 · C' · ΔV² → K = 2W / (C · ΔV²) = 4,5

Exercício 31: Capacitor com Mica

C = 112 pF, K = 5,4, Área = 96,5 cm², ΔV = 55 V. Calcule E e cargas.

a) E = ΔV · C / (K · ε₀ · A) = 13,35 x 10³ kV/m
b) q = 6,16 nC; q' = q(1 - 1/K) = 5,01 nC

Análise de Circuitos

Exercício 33: Corrente e Transporte de Elétrons

I = 4,82 A em R = 12,4 Ω por 4,60 min. Determine o número de elétrons.

t = 276 s; N = (I · t) / q_e = 8,3 x 10²¹ elétrons
q = 1,33 kC

Exercício 34: Densidade de Corrente e Velocidade de Arrasto

I = 123 pA, diâmetro 2,46 mm no cobre.

J = I / A = 25,9 x 10^-6 A/m²
n = 84,97 x 10²⁷ m^-3 → v = J / (n · e) = 1,9 x 10^-15 m/s

Exercício 35: Resistência e Temperatura

R = 50 Ω a 20ºC. Após trabalho, R = 58 Ω. Qual a temperatura final? (α = 4,3 x 10^-3 ºC^-1)

R = R₂₀(1 + α(T_f - T_i)) → T_f = 57,2 ºC

Exercício 36: Resistência de uma Bobina

250 voltas, raio 12,2 cm, fio de cobre (ρ = 1,69 x 10^-8 Ω·m, D = 3,28 mm).

L = N · π · D_b = 191,64 m
R = ρ · L / A = 95,8 x 10^-3 Ω

Exercício 37: Condutividade do Material

V = 115 V, L = 9,66 m, J = 1,42 A/cm². Calcule a condutividade.

E = V / L = 11,9 V/m
J = E · σ → σ = 1193 Ω⁻¹/m

Exercício 48: Potência Dissipada e Temperatura

Aquecedor de 500 W a 110 V (800ºC). Qual a potência a 200ºC?

R₈₀₀ = 24,2 Ω; R₂₀₀ = 19,7 Ω
P = V² / R₂₀₀ = 611 W

Exercício 39: Diferença de Potencial entre P e Q

V_p = 100 V. Qual V_q?

I = (150 - 50) / (R₃ + R₂) = 20 A
V = R · I = 60 V → 60 = 50 - V_q → V_q = -10 V

Exercício 40: Queda de Potencial

Determine a queda de potencial na resistência de 5 Ω.

V_x = (R₂ / (R₁ + R₂)) · V_cc = (5/8) · 12 = 7,5 V

Exercício 42: Leis de Kirchhoff

Calcule as correntes e V_b - V_a. E1=2V, E2=3,8V, E3=5V.

I₁ = -0,73 A; I₂ = -0,067 A; I₃ = -0,68 A
V_b - V_a = E₂ - V_r = 3,8 - (2,3 · 0,067) = 3,6 V

Exercício 43: Leituras de Amperímetro e Voltímetro

R_a = 3 Ω, R_v = 300 Ω, R = 85 Ω, R₀ = 100 Ω, E = 12 V.

I_amperímetro = 55,2 mA; V_voltímetro = 4,86 V

Exercício 44: Circuito RC e Lâmpada de Neon

Lâmpada brilha 2 vezes por segundo (f=2Hz). V_L = 72 V, Bateria = 95 V, C = 0,15 µF. Qual o valor de R?

τ = t / ln(-q_c/q₀ + 1) = 0,35
R = τ / C = 2,35 MΩ

Exercício 45: Descarga de Condensador

C = 1 µF, U = 0,5 J, R = 1 MΩ. (a) Carga e corrente inicial. (b) Expressões temporais.

a) V = 1 kV; q = 1 mC; I = 1 mA
b) Q = Q₀e^-t/RC; I = I₀e^-t/τ; V_c = V₀e^-t/τ; P = P₀e^-2t/τ