Exercícios Resolvidos de Função Afim e Aplicações
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Função Afim
A Companhia AB de aluguel de caminhões aluga certo modelo de caminhão a R$ 90,00 e R$ 3,50 por quilômetro rodado, enquanto a Companhia CD aluga o mesmo modelo a R$ 80,00 e R$ 4,00 por quilômetro rodado.
a) Determine o custo do aluguel de cada companhia em função do número de quilômetros percorridos:
Pa = 3,50x + 90
Pb = 4x + 80
b) Determine o ponto onde as duas companhias se equivalem no custo:
3,5x + 90 = 4x + 80
3,5x - 4x = 80 - 90
-0,5x = -10
x = 10 / 0,5 = 20 km
c) Esboce o gráfico das duas funções no mesmo par de eixos coordenados.
d) Determine o domínio e a imagem da função:
- Domínio: {x ∈ ℝ | x > 0}
- Imagem: {c ∈ ℝ | c > 90} e {c ∈ ℝ | c > 80}
O proprietário de uma fábrica de chinelos verificou que, quando produziam 600 pares de chinelos por mês, o custo total da empresa era de R$ 14.000,00, e quando se produziam 900 pares o custo mensal era de R$ 15.800,00. O gráfico que representa a relação entre o custo mensal (c) e o número de chinelos produzidos por mês (x) é formado por pontos de uma reta.
y = ax + b
14.000 = a · 600 + b
15.800 = a · 900 + b
a) Obtenha c em função de x (Sistemas de Equações):
600a + b = 14.000 (multiplicado por -1)
900a + b = 15.800
300a = 1.800 → a = 6
600 · 6 + b = 14.000 → b = 14.000 - 3.600 = 10.400
b) Se a capacidade máxima de produção da empresa é de 1.200 chinelos por mês, qual o valor do custo máximo mensal?
c = 6x + 10.400
c = 6 · 1.200 + 10.400 = 7.200 + 10.400 = R$ 17.600,00
c) Determine o domínio e a imagem da função:
- Domínio: {x ∈ ℝ | 0 < x < 1.200}
- Imagem: {y ∈ ℝ | 10.400 < c < 17.600}
Devido ao desgaste, o valor (v) de uma mercadoria decresce com o tempo (t). Por isso, a desvalorização que o preço dessa mercadoria sofre em razão do tempo de uso é chamado de depreciação. O valor de uma máquina hoje é R$ 1.000,00, e estima-se que daqui a 5 anos será de R$ 250,00.
a) Qual será o valor da máquina em t anos?
v = at + b → 1.000 = a · 0 + b → b = 1.000
b) Qual será o valor da taxa de depreciação (a)?
250 = a · 5 + 1.000 → 5a = -750 → a = -150
O gerente de uma loja de artigos esportivos fez um gráfico das vendas em função do tempo para os últimos 5 anos. Usando os pontos (1, 20) e (5, 56), encontre a equação da reta e a previsão para o sexto ano:
a + b = 20
5a + b = 56
4a = 36 → a = 9
9 + b = 20 → b = 11
Equação: y = 9x + 11
Para x = 6: y = 9 · 6 + 11 = 65