Exercícios Resolvidos de Geometria Espacial

Cilindro: Ab=πr²     Al=2π rh    At=2πr(r+g)    V=πr²h

Uma lata de óLéo tem 8cm de diâmetro de base e 19cm de altura. Quantos centímetros quadrados de material são usados, aproximadamente, pára fabricar essa lata?

D=8 cm; r=4 cm; h=19cm; π= 3,14;

Al=2πrh                                         Ab=2πr2                         At=477,28+100,48= 577,76cm2

Al=2x.3,14x4x19                          Ab=2x3,14x4 2

Al=477,28cm2                             Ab=100,48cm2

Num tanque cilíndrico tem 3m de profundidade sua base superior e aberta e tem 4m de diâmetro quantos galões de tinta são necessários pára pintar o interior desse tanque se pára m² gasta-se 1/4 de galão?

Al=2 πrg                      Ab=3,1.4=12,4m2                 Apintada=37,2+12,4=49,6m2

 Al= 2 . 3,1.2.3                 1m2-------------1/4G

Al=37,2m2                        49,6------------ x =>  X=12,4galoes.

Um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e sua base tem 12cm de diâmetro. Calcule a área lateral, a área total e o volume do cilindro

d=12cm;r=6cm.                                     Ab= πr2= π.62=36πcm2          Al=2 πrh=2 π.6.10=120 πcm2.

At=Al+2Ab=120π+2(36π)=192 πcm2     V=Abh= πr2h= π.62.10=360 πcm3.

Qual é a capacidade de uma lata de molho de tomate que tem a forma cilíndrica, com 7,5cm de diâmetro e 11cm de altura?

d=7,5cm;r=3,75cm;h=11cm.

V= πr2h= π.3,752.11=~ 154,7 πcm3

Π=3,14 e 1dm3=1L e 1cm3=1mL.

154,7.3,14=~ 485,76mL.

Sabe-se que a área lateral de um cilindro é 20π cm². Se o raio da base é 5cm, calcule a medida h da altura e a área total do cilindro.

Al=2 πrg =>2 πrg=20 π                      At=2*Ab=Al

2*5*g=20 -> g=2cm                            At=2* πr²=20 π

g=h ->h=2cm                                      At=2 π*25=20 π -> At=70 πcm

 Duas latas tem forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos material?

(1)LATA BAIXA                     (2)LATA ALTA               A lata mais alta gasta menos material.

At=2πr(r+g)                           At=2πr(r+g)

AT=2π*2r(2r+h)                    At=2πr(r+2h)

At=4πr(2r+h)                        At=2πr²+4πrh

At=8πr²+4πrh

 Cone:  Ab=πr²     Al=πrg      At=πr(r+g)    V=1/3*Πr²*h

Quantos centímetros de cartolina serão gastos pára fazer o chapéu de palhaço cujas medidas estão na figura abaixo? (um cone com 30 cm de altura e diâmetro=20cm)

G2=302+102               Al= π.10.10√10

G2=900+100              Al= 100π√10cm2

G2=1000

G=10√10

O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto constituem, nessa ordem, uma Pá de razão 1. Calcule a área total do cone. (sugestão: use x-1,x,x+1 pára indicar os ter,os da pá)

G2=r2+h2 At=훑r(r+g)=24

(R+2)2=r2+(r+1)2

R2+4R+4=R2+R2+2R+1

4r+4=r2+2r+1

R2-2r-3=0

Delta: 4-4.1(-3)

Delta= 16

R=3

 Qual é o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm?

V= 1/3πr2.H= 1/3π.72.12=196π=615,44cm3

 Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 6cm e altura é 10cm? (use π=3,14)

R=3cm

H=10

V=1/3π.R2.H=1/3π.32.10=30π=94,20cm3

 Em um cone reto, a geratriz mede 15 cm e o raio da base mede 9cm. Calcule a altura e o volume do cone.

G2=h2+r2à152=h2+92à h2=225-81=144àh=12cm

V=1/3πr2h=1/3π(9)2.12=324cm3

A altura do cone é 12 cm e o volume é 324cm3

O raio da base, a altura e a geratriz de um cone reto constituem, nessa ordem, uma Pá de razão 1. Calcule a área total do cone. (sugestão: use x-1,x,x+1 pára indicar os ter,os da pá)

G2=r2+h2 At=훑r(r+g)=24

(R+2)2=r2+(r+1)2

R2+4R+4=R2+R2+2R+1

4r+4=r2+2r+1

R2-2r-3=0

Delta: 4-4.1(-3) => Delta= 16 => R=3

Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 6cm e altura é 10cm? (use π=3,14)

R=3cm

H=10

V=1

3π.R2.H=1=>3π.32.10=30π=94,20cm3

 Em um cone reto, a geratriz mede 15 cm e o raio da base mede 9cm. Calcule a altura e o volume do cone.

G2=h2+r2à152=h2+92à h2=225-81=144àh=12cm

V=1/3πr2h=1/3π(9)2.12=324cm3

A altura do cone é 12 cm e o volume é 324cm3

Esfera: As=4πr²    V=4/3πr³   

Numa esfera de raio 8cm calcule a área de sua superfície e o seu volume

As=4πr²                                 V=4/3πr³

As=4π*8²                               V=4/3*π*8³

As=256πcm²                         V=2048π/3cm³  => V=682,7πcm³

Fuso e cunha esferica 

Calcule a área de um fuso esférico cujo ângulo central mede 30° e o raio da esfera mede 12cm

360------4πr²              S* 360° = 30°*4π *12²

30---------S                  S=30°*4π*144/360°

                                      S=144π/3  =>S=48πcm²

Calcule o volume de uma cunha esferica com 60° de ângulo central e 6cm de raio

360°------------4/3πr³            V*360°=60°*4/3*π *6³

60°-------------V                      V=60°/360°*4/3*π*216

                                                  V=1/6*4/3*π*216 =>V=48πcm³