Exercícios Resolvidos de Mecânica dos Fluidos

Cálculos - Questão de Manometria (1)

Dados iniciais e de conversão:

• γ_água = 9800 N/m³
• γ_Hg = 136000 N/m³
• h₁ (água) = 160 mm = 0,16 m
• h₂ (Hg) = 25 mm = 0,025 m
• P_atm = 700 mmHg = 0,700 mHg

Cálculo da pressão atmosférica (P_atm) em Pascal:
P_atm = γ_Hg · h_atm
P_atm = 136000 · 0,700 = 95200 Pa

1. Pressão do Gás (Efetiva e Absoluta)

Na Escala Efetiva (P_atm = 0):
P_{gás(efetivo)} = P_atm(efetivo) + (γ_água · h₁) + (γ_Hg · h₂)
P_{gás(efetivo)} = 0 + (9800 · 0,16) + (136000 · 0,025)
P_{gás(efetivo)} = 1568 + 3400
P_{gás(efetivo)} = 4968 Pa

Na escala absoluta:
P_{gás(absoluto)} = P_{gás(efetivo)} + P_atm(real)
P_{gás(absoluto)} = 4968 + 95200
P_{gás(absoluto)} = 100168 Pa

2. Pressão do Gás como no Ponto M

P_M(efetivo) = 4968 Pa
P_M(absoluto) = 100168 Pa

3. Cálculo da Elevação

P_{gás(efetivo)} = γ_água · z
4968 = 9800 · z
z = 4968 / 9800
z ≈ 0,5069 m (ou 50,69 cm)

Cálculos - Questão de Escoamento entre Placas (2)

Dados da Questão:

• Área da placa em movimento (A): 2 m²
• Velocidade da placa (v): 5 m/s
• Força de tração na placa (F): 400 N
• Fluido Superior: Espessura (h₁) = 1 mm = 0,001 m; Viscosidade (μ₁) = 3 x 10⁻² N·s/m²; Diagrama linear.
• Fluido Inferior: Espessura (h₂) = 0,5 m; Viscosidade (μ₂) = 4 N·s/m²; Diagrama parabólico v = ay² + by + c.
• Área da placa da base (A₂): 20 m²

a) Por termos uma espessura desprezível:
τ₁ = (μ * V) / ε
τ₁ = (3 * 10⁻² * 5) / (1 * 10⁻³)
τ₁ = 3 * 5 * 10 = 150 N/m²

b) Equilíbrio de Forças:
(Esboço de uma placa retangular com vetores de força: Fμ₁ apontando para a esquerda na parte superior, Fμ₂ apontando para a esquerda na parte inferior, e 400 N apontando para a direita no centro).
Σ F_x = 0
400 = Fμ₁ + Fμ₂
400 = τ₁ * A + τ₂ * A
400 = A * (τ₁ + τ₂)
400 / 2 = 150 + τ₂
200 - 150 = τ₂ => τ₂ = 50 N/m²

c) Diagrama de Velocidades Linear:
(Esboço do diagrama com a base superior em 0 m/s e a inferior em 5 m/s. Altura indicada como 1 * 10⁻³ m. Eixo y apontando para baixo).
v = a * y + b
Condições de contorno:
v(0) = 0 => 0 = a * 0 + b => b = 0
v(1 * 10⁻³) = 5 m/s => 5 = a * 10⁻³ + 0 => a = 5 * 10³ = 5000
v(y) = 5000y

d) Diagrama de Velocidades Parabólico:
(Esboço do diagrama com a base superior em 5 m/s e a inferior em 0 m/s. Altura indicada como 0,5 m. Eixo y apontando para cima).
v(y) = a * y² + b * y + c
dv/dy = 2 * a * y + b

Condições de contorno:

1. v(0) = 0 => 0 = a*(0)² + b*(0) + c => c = 0
2. v(0,5) = 5 => 5 = 0,25a + 0,5b
3. τ₂ (em y=0,5) = 50 N/m²
   50 = μ * (dv/dy)
   50 / 4 = 2 * a * (0,5) + b
   12,5 = a + b

Sistema para resolução:
0,25a + 0,5b = 5
a + b = 12,5 => a = 12,5 - b

Substituindo (a) na primeira equação:
0,25 * (12,5 - b) + 0,5b = 5
3,125 - 0,25b + 0,5b = 5
0,25b = 5 - 3,125
b = 1,875 / 0,25 => b = 7,5

Retornando para encontrar (a):
a = 12,5 - 7,5 => a = 5
v(y) = 5y² + 7,5y

e) Força R que mantém a placa da base em repouso:
Em y = 0: dv/dy = 7,5 s⁻¹
τ_base = μ₂ * (dv/dy) = 4 * 7,5 = 30 N/m²
A força R deve equilibrar a força de cisalhamento em toda a área da base (A₂ = 20 m²):
R = τ_base * A₂
R = 30 * 20 = 600 N

Condição Inicial (com rolha): (3)

• Pressão absoluta do ar (P_{ar, abs}): 108000 Pa
• Leitura do manômetro metálico (P_{ar, efetiva}): 1,2 mca
• Leitura L (coluna inclinada): 270 cm = 2,7 m
• Cota z: 27 cm = 0,27 m
• Cota H inicial: 356 cm = 3,56 m
• Nível da água: em (A).

Condição Final (sem rolha):

• O tanque é aberto à atmosfera (P_{ar, efetiva} = 0).
• Nível da água sobe para (B) (um aumento de 3 cm = 0,03 m em relação a A).

Propriedades e Dimensões:

• Peso específico da água (γ_água): 9800 N/m³
• Peso específico do mercúrio (γ_Hg): 136000 N/m³
• Diâmetro do reservatório largo (D): 25 cm = 0,25 m
• Ângulo de inclinação do tubo: 30°

a. Qual a leitura barométrica local em mmHg?
P_{ar, efetiva} = γ_água * h = 9800 * 1,2 = 11760 Pa
P_abs = P_atm + P_efetiva
108000 = P_atm + 11760
P_atm = 96240 Pa
P_atm = γ_Hg * h_bar
96240 = 136000 * h_bar
h_bar = 96240 / 136000 ≈ 0,7076 m = 707,6 mmHg

b. Qual o peso específico do fluido manométrico (γ_m)?
h_água,1 = 3 cm + 27 cm = 30 cm = 0,30 m
h_m1 = L * sen(30°) = 2,7 * 0,5 = 1,35 m
P_{ar, efetiva} + (γ_água * h_água,1) - (γ_m * h_m1) = 0
11760 + 9800 * 0,30 - γ_m * 1,35 = 0
11760 + 2940 = 1,35 * γ_m
14700 = 1,35 * γ_m
γ_m = 14700 / 1,35 ≈ 10888,89 N/m³

c. Nova cota H quando se retirar a rolha:
Nova coluna de água:
h_água,2 = (coluna antiga) + (subida na superfície) - (subida da interface)
h_água,2 = 0,30 + 0,03 - Δy = 0,33 - Δy
Nova coluna manométrica:
h_m2 = (coluna antiga) - (queda vertical do menisco) - (subida da interface)
Δy * sen(30°) = 0,5Δy. h_m2 = 1,35 - 0,5Δy - Δy = 1,35 - 1,5Δy
Igualando as pressões:
0 + γ_água * h_água,2 = γ_m * h_m2
9800 * (0,33 - Δy) = 10888,89 * (1,35 - 1,5Δy)
3234 - 9800Δy = 14700 - 16333,33Δy
16333,33Δy - 9800Δy = 14700 - 3234
6533,33Δy = 11466
Δy = 1,755 m
Cálculo da nova cota H:
H₂ = H₁ - 0,5Δy
H₂ = 3,56 - 0,5 * (1,755) = 3,56 - 0,8775 = 2,6825 m

d. Qual o diâmetro do tubo manométrico d?
V_res = V_tubo
A_res * ΔY_superfície = a_tubo * Δy_interface
(π * D² / 4) * 0,03 = (π * d² / 4) * 1,755
D² * 0,03 = d² * 1,755
(0,25)² * 0,03 = d² * 1,755
0,0625 * 0,03 = d² * 1,755
0,001875 = 1,755 * d²
d² = 0,001875 / 1,755 ≈ 0,00106837 m²
d = √(0,00106837) ≈ 0,0327 m

Resolução - Questão 4

Dados Iniciais:

• Dimensões da comporta: base (b) = 1,5 m; altura ao longo do plano inclinado (L) = 3,0 m
• Área da comporta (A): 1,5 * 3,0 = 4,5 m²
• Peso específico da água (γ): 1000 kgf/m³
• Ângulo de inclinação (θ): 45°
• Profundidade da articulação A (h_A): 1,3 m

a) A força que age na face superior da comporta devido à água (F):
F = γ * h_CG * A
Calculando h_CG:
Δh = 1,5 * sen(45°) = 1,5 * (√2/2) ≈ 1,061 m.
h_CG = 1,3 + 1,061 = 2,361 m.
Calculando a força:
F = 1000 * 2,361 * 4,5 = 10624,5 kgf

b) O Centro de pressões (Y_CP):
Coordenada Y do ponto A: Y_A = h_A / sen(45°) = 1,3 / 0,7071 ≈ 1,838 m
Coordenada Y do CG: Y_CG = Y_A + 1,5 = 1,838 + 1,5 = 3,338 m
O momento de inércia em relação ao CG:
I_CG = (b * L³) / 12 = (1,5 * 3,0³) / 12 = (1,5 * 27) / 12 = 3,375 m⁴
A posição do centro de pressões (Y_CP) no eixo inclinado é:
Y_CP = Y_CG + [ I_CG / (Y_CG * A) ]
Y_CP = 3,338 + [ 3,375 / (3,338 * 4,5) ]
Y_CP = 3,338 + [ 3,375 / 15,021 ]
Y_CP = 3,338 + 0,225 = 3,563 m

O braço de alavanca da força da água (distância da articulação A até o CP) é:
d_CP = Y_CP - Y_A = 3,563 - 1,838 = 1,725 m
Equação de momentos:
F_B * L = F * d_CP
F_B * 3,0 = 10622,97 * 1,725 (usando o valor de força mais exato)
F_B * 3,0 = 18324,62
F_B = 18324,62 / 3,0 = 6108,21 kgf

Questão 5 - Manômetro em um sistema de equilíbrio estático

1. Relações de Pressão Extraídas do Esquema

O manômetro instalado entre as câmaras (1) e (2) é diferencial, indicando a diferença de pressão entre elas:
p₁ - p₂ = 10.000 Pa

O desnível de 20 cm (0,2 m) de água (γ = 10.000 N/m³) entre a câmara 2 e a câmara 3 fornece a relação:
p₂ - p₃ = γ * Δh
p₂ - p₃ = 10.000 * 0,2 = 2.000 Pa
p₃ = p₂ - 2.000

2. Equilíbrio Estático de Forças

A força atuando para a direita (câmara 1) deve igualar as forças atuando para a esquerda (câmaras 2 e 3):
F₁ = F₂ + F₃
p₁ * A₁ = p₂ * A₂ + p₃ * A₃
p₁ * D₁² = p₂ * (D₁² - D₂²) + p₃ * D₃²
p₁ * (0,5)² = p₂ * (0,5² - 0,1²) + p₃ * (0,3)²
0,25 * p₁ = 0,24 * p₂ + 0,09 * p₃

3. Resolução do Sistema

Substituindo a expressão de p₃ (p₃ = p₂ - 2.000) na equação de equilíbrio:
0,25 * p₁ = 0,24 * p₂ + 0,09 * (p₂ - 2.000)
0,25 * p₁ = 0,24 * p₂ + 0,09 * p₂ - 180
0,25 * p₁ = 0,33 * p₂ - 180

Sabemos pelo manômetro diferencial que p₂ = p₁ - 10.000. Substituindo p₂:
0,25 * p₁ = 0,33 * (p₁ - 10.000) - 180
0,25 * p₁ = 0,33 * p₁ - 3.300 - 180
0,25 * p₁ = 0,33 * p₁ - 3.480
0,25 * p₁ - 0,33 * p₁ = -3.480
-0,08 * p₁ = -3.480
p₁ = -3.480 / -0,08
p₁ = 43.500 Pa = 43,5 kPa

Questão 6

1. Dados e Áreas:

• D = 71,4 mm; d = 35,7 mm (Logo, D = 2d)
• F = 31 N; h = 400 mm = 0,4 m
• Área da haste (A_d) = (π * 0,0357²) / 4 ≈ 0,001 m²
• A₁ (pistão face esquerda) = 4 * A_d
• A₂ (pistão face direita) = 3 * A_d
• O volume deslocado causa um desnível Δh na água: Δh = h / 8 = 0,05 m.

2. Equação do Manômetro:

P_ar2 - P_ar1 = (γ_m * h) - γ_H2O * (h - 2Δh)
P_ar2 - P_ar1 = (50.000 * 0,4) - 10.000 * (0,4 - 0,10)
P_ar2 - P_ar1 = 20.000 - 3.000
P_ar2 = P_ar1 + 17.000 Pa

3. Equilíbrio de Forças no Pistão:

Forças Direita = Forças Esquerda
(P_ar1 * A₁) + F = (P_ar2 * A₂)
P_ar1 * (4 * A_d) + 31 = (P_ar1 + 17.000) * (3 * A_d)
4 * P_ar1 * A_d + 31 = 3 * P_ar1 * A_d + 51.000 * A_d
P_ar1 * A_d = 51.000 * A_d - 31
P_ar1 = 51.000 - (31 / 0,001)
P_ar1 = 20.030 Pa (pressão efetiva)

Consequentemente:
P_ar2 = 20.030 + 17.000 = 37.030 Pa (pressão efetiva)

4. Respostas Finais:

a) P_ar1 em mmHg (abs):
P_{ar1_efetiva} = 20.030 / 136.000 = 0,1473 mHg = 147,3 mmHg