Exercícios Resolvidos de Sistemas e Controlo

Álgebra Linear e Espaços Vetoriais

1 - Sejam v1, v2 e v3 vetores em R^2.

R: v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.

2 - Seja E um espaço vetorial. Então:

R: Se S for um subconjunto de E e se qualquer combinação linear de elementos de S pertencer a S, então S é um subespaço de E.

3 - Destas afirmações seguintes, só uma é que é falsa. Indique-a.

R: Um subespaço nunca pode ser gerado por todas as combinações lineares de vetores que não sejam linearmente independentes.

4 - A dimensão de um subespaço é:

R: O número de vetores linearmente independentes que são necessários para o gerar.

5 - Uma base de um subespaço S é:

R: Qualquer conjunto de vetores independentes com um número de elementos igual à dimensão de S.

6 - O complemento ortogonal de um plano em R^3:

R: É uma reta que passa na origem, independentemente do plano ser ou não ser subespaço de R^3.

7 - Considere os vetores v1 e v2 linearmente independentes em R^2. A soma dos subespaços gerados por cada um desses vetores é:

R: R^2.

8 - Sejam v1, v2 e v3 vetores linearmente independentes em R^3. O subespaço de R^3 gerado por v3:

R: É o complemento ortogonal do subespaço gerado por v1 e v2 se e só se v3 for ortogonal a v1 e v2.

9 - Seja A uma matriz com n linhas e m colunas. A imagem de A é:

R: O subespaço gerado pelas colunas de A.

10 - Seja A=QR em que Q é uma matriz ortonormal e R uma matriz triangular superior de característica completa:

R: As colunas de A são combinações lineares das colunas de Q.

Decomposição QR e Matrizes

1 - A decomposição QR torna mais robusta a resolução de sistemas de equações y=Ax porque:

R: Só exige a inversão de uma matriz triangular.

2 - A principal razão da utilização da decomposição QR em problemas de mínimos quadrados é:

R: Aumento da robustez numérica.

3 - O núcleo (em inglês "kernel" ou "null space") de uma matriz A é:

R: O complemento ortogonal do subespaço gerado pelas suas linhas.

4 - Na decomposição QR de uma matriz A com característica r:

R: As r primeiras colunas de Q formam uma base ortonormal para a imagem de A.

5 - Seja A uma matriz real com n linhas e m colunas, característica r:

R: As colunas de V são uma base ortonormal para R^m.

6 - Seja A uma matriz real com n linhas e m colunas com m diferente de n e característica r:

R: Os últimos min(m,n)-r valores singulares de A são nulos.

7 - Seja A uma matriz real de característica completa com n linhas e m colunas com m diferente de n:

R: A não tem valores singulares nulos.

8 - Seja A uma matriz de característica r e A=USV^T a sua decomposição em valores singulares:

R: As r primeiras colunas de U são uma base ortonormal para a imagem de A.

9 - A base canónica de R^n:

R: É constituída pelas colunas da matriz identidade de dimensão n.

10 - Seja U uma matriz quadrada de dimensão n, real e ortonormal. A transformação y=U^Tx é:

R: Uma rotação em R^n que alinha as colunas de U com os vetores da base canónica.

Projeções e Mínimos Quadrados

1 - A norma induzida quadrática da matriz A que define a transformação da figura é:

R: 2.

2 - Seja x=α*vi em que α é um escalar e vi é o i-ésimo vetor singular à direita de A. Então o produto A*x é igual a:

R: α*σi*ui (σi é o i-ésimo valor singular de A e ui o seu i-ésimo vetor singular à esquerda).

3 - Seja A uma matriz com característica n e Ar a sua melhor aproximação de característica r:

R: A imagem de A-Ar é ortogonal à imagem de Ar.

4 - Seja z=y\x a projeção ortogonal de y em x:

R: z não depende do módulo de x. Só depende da sua direção.

5 - Seja y um vetor em R^n. A melhor aproximação de y no plano definido pelos vetores x1 e x2 é:

R: É a projeção ortogonal de y no plano definido por x1 e x2.

6 - Seja Y\x a projeção de Y no subespaço definido pelas colunas de uma matriz X. Então:

R: Y\x=X*hat{θ} em que hat{θ} é a estimativa de mínimos quadrados de θ da equação Y=X*θ + R.

7 - Considere o problema de mínimos quadrados Y=X*θ+ R:

R: Se (X^T)*X for singular, o problema tem uma infinidade de soluções.

8 - Seja hat{θ}=X^{†}*Y a solução do problema de mínimos quadrados Y=X*θ+R, em que Y∈R^n e X é uma matriz com N linhas e n colunas:

R: hat{R}=Y-X*hat{θ} é a projeção ortogonal de Y no complemento ortogonal da imagem de X.

9 - X uma matriz de característica r, X=Ur*Sr*(Vr^T) a sua decomposição em valores singulares reduzida. A matriz X^{†}, pseudoinversa de X é:

R: X^{†} = Vr*Sr^{-1}*(Ur^T).

10 - Seja X uma matriz de característica completa com n linhas e m colunas e n>m. Então:

R: X^{†}*X=Im.

Sistemas de Controlo e Lyapunov

1 - Seja ||A||₂ a norma induzida quadrática da matriz A∈Rⁿˣᵐ com característica r, e κ(A) o seu número de condição. Qual é falsa?

R: κ(A)=λ₁/λᵢ em que λ₁ é o maior valor próprio de A e λᵢ o menor.

2 - Seja Y=Xθ+η com Y, η ∈Rⁿ, θ∈Rᵐ, n>m, car(X)=m. Seja hat{θ}=X^{†}Y o estimador de mínimos quadrados de θ. Se o número de condição de X for muito grande:

R: hat{θ} vai ser uma estimativa pouco precisa.

3 - A projeção oblíqua de y em x₂ segundo a direção de x₁ é:

R: v₂.

4 - A projeção de Y no espaço gerado pelas linhas de X é:

R: Y X^{†}X.

5 - Sejam A, X, Q ∈Rⁿˣⁿ. A equação de Lyapunov AX(A^T)+Q=X onde X é a incógnita:

R: É linear em X.

6 - Sejam A, B, x e y vetores de dimensões compatíveis com os produtos Ax e By e ⊗ Kronecker:

R: (Ax)⊗(By)=(A⊗B)(x⊗y).

7 - Seja A∈Rⁿˣⁿ, x,y ∈Rⁿ² e In² a matriz identidade com dimensão n². (In²-A⊗A)x=y tem uma só solução se:

R: A não tiver nenhum valor próprio igual a 1.

8 - Seja A uma matriz de característica r e ||A||_f a sua norma de Frobenius. Qual é falsa?

R: ||A||_f=||A||₂.

9 - Seja (A,B,C,D) uma representação no espaço de estados de um sistema causal, linear e invariante no tempo. Se D=0 então a resposta impulsional h(t) é:

R: h(t)=0, t≤0 e h(t)=CA^{t-1}B, t≥0.

10 - Para se poder prever o comportamento de um sistema causal, linear e invariante no tempo a partir do instante t=t₀ necessitamos de conhecer o seu modelo, a entrada para t≥t₀ e:

R: O estado para t=t₀.

Análise de Sistemas

1- Este sistema é:

R: Instável porque se u(t)=0 e x(0)=[2;1] então x(t)=[2;1] ∀ t.

2- É solução da equação de Lyapunov P=APA+I

R: Se e só se A for estável.

3 - Seja Ω a matriz da acessibilidade do sistema (A,B,C,D) em tempo discreto não acessível. Só é possível transferir o estado x₁ para o estado x₂ num intervalo de tempo finito:

R: Se e só se x₁, x₂ ∈ im(Ω).

4 - Seja Ω a matriz da acessibilidade do sistema em tempo discreto (A,B,C,D). Qual das seguintes afirmações nunca pode ser verdadeira?

R: O sistema é acessível e não controlável.

5 - Seja T∈Rⁿˣⁿ uma matriz não singular e (A,B,C,D) um sistema com matriz de acessibilidade Ω. A matriz de acessibilidade do sistema (T⁻¹AT, T⁻¹B, CT, D) é:

R: T⁻¹Ω.

6- Onde a₁₁≠0, a₂₁≠0 e a₂₂≠0. O sistema não é acessível

R: Sempre que b₁=0.

7-

R: As últimas n-nc linhas de T⁻¹ pertencem ao núcleo da matriz Ω transposta.

Observabilidade e Realização

1 - (A,B,C,D), u(t)=0. Se largado para t=0 estado não nulo x₀∈ker(O):

R: y(t)=0 para todo o t≥0.

2 - As propriedades da matriz da observabilidade do par (A,C):

R: São idênticas às propriedades da acessibilidade do par (A^T,C^T).

3-

R: As últimas n-no colunas de T pertencem ao núcleo da matriz O.

4 - Considere o sistema representado na Figura 1. O subespaço gerado por x₁ e x₃

R: Define um subsistema não observável.

5 - No sistema definido pela figura anterior, o subespaço gerado por x₃ e x₄:

R: O subsistema não acessível.

6 - A FT do sistema da figura anterior é a do subsistema cujas variáveis de estado são:

R: x₂.

7-

R: b₁c₁/(z-a₁₁).

8-

R: Existe e é igual a (A^N)P(A^N)^T.

9-

R: Hij=Oi*Cj.

10 - Se no problema anterior a realização (A,B,C,0) for mínima, se i e j superiores à ordem do sistema:

R: Hij é uma matriz cuja característica é sempre = ordem do sistema.

Gramianos e Processos Estocásticos

1 - O gramiano da observabilidade (A,B,C,D) espaço de estados é:

R: (O∞^T)O∞.

2 - Uma realização de um sistema estável é mínima se e só se:

R: Gramianos da observabilidade e da controlabilidade forem matrizes não singulares.

3 - Seja ui de P realização sistema linear e inv tempo. Energia da orig-ui:

R: É igual a 1/σi, σi é o valor singular de P correspondente a ui.

4 - A decomposição em valores singulares de um gramiano da observabilidade Q é:

R: Q=USU^T porque Q é uma matriz simétrica.

5 - Uma realização é equilibrada quando:

R: Mínima, o sistema estável e os gramianos da controlabilidade e observabilidade iguais são matrizes diagonais iguais.

6-

R: Estável, não equilibrada.

7-

R: Não existe porque a função apresentada não é par e, consequentemente, não pode ser uma função de auto-correlação.

8-

R: Não existe porque y(t) não é um processo estacionário.

9-

R: Tem variância 1.

10 - Considere o passeio aleatório y(t)=y(t-1)+e(t) onde e(t) é ruído branco. O melhor previsor linear de y(t) no instante t-1:

R: É y(t-1).

Modelos e Filtro de Kalman

1 -

R: Opção C.

2 - O processo y(t) da pergunta anterior:

R: É um processo de média móvel.

3 - Fatores H(q) e H(q⁻¹) do espetro processo autorregressivo:

R: São ambos FT inversamente estáveis.

4 - O melhor previsor linear de um processo autorregressivo:

R: É um filtro de resposta impulsional finita.

5-

R: Opção B.

6-

R: H(q)e(t) é o ruído da saída.

7 - Problema anterior. A relação sinal-ruído é 20*log(R) em que R é a razão entre:

R: A potência de G(q)u(t) e a variância de H(q)e(t).

8-

R: C(q)/D(q) e(t) é o ruído de equação.

9-

R: De um modelo ARX.

10 - Se G(q) e H(q) não têm polos na origem e não têm polos comuns:

R: Um modelo de Box-Jenkins.

Filtro de Kalman e Estocástica

1 - O ganho do previsor de Kalman minimiza:

R: A covariância do erro da estimativa do estado.

2 - A variável Lambda_0(t) que se definiu na dedução do previsor de Kalman é:

R: A variância do erro da previsão da saída.

3 - A variável G_f(t) que se definiu na dedução do filtro de Kalman é:

R: A correlação entre o erro da estimativa de x(t) e o erro da saída.

4 - O ganho K(t) do previsor de Kalman:

R: Anula a variável auxiliar Lambda_0(t).

5 - O previsor de Kalman é um observador de estado que determina a estimativa de x(t):

R: Utilizando todas as entradas e saídas do sistema até ao instante t-1.

6 - Quando desconhecemos completamente o estado inicial de um sistema:

R: Devemos inicializar a covariância do erro com uma matriz definida positiva com os valores da diagonal principal muito elevados.

7 - O ganho do previsor de Kalman:

R: Estabiliza num valor constante quando os parâmetros do sistema não variam com o tempo, independentemente da covariância do ruído variar ou não.

8 - Sistema linear e invariante no tempo completamente observável e perturbado por ruído branco. "Se este sistema for instável então o seu previsor de Kalman é também instável" é:

R: É falsa, pois, se fosse instável, o erro do previsor seria um processo não estacionário com a covariância a tender para infinito e, consequentemente, o previsor de Kalman nunca poderia ser o observador que minimiza a covariância do erro.

9 - Nos modelos PEM x(t+1)=Ax(t)+Ke(t), y(t)=Cx(t)+e(t) em que e(t) é ruído branco de média nula e covariância Re:

R: K é o ganho estacionário do previsor de Kalman.

10 - O filtro de Kalman:

R: Corrige a estimativa de x(t) do previsor de Kalman utilizando a informação fornecida por y(t), conseguindo assim diminuir a covariância do erro.

Conceitos de Processos Estocásticos

1 - Um processo estocástico é:

R: Uma função aleatória.

2 - Um processo estocástico estacionário é caracterizado por:

R: As suas propriedades estatísticas não variarem com o tempo.

3 - Se um sinal for um processo estacionário ergódico então as suas propriedades estatísticas (média, função de covariância, distribuição, etc):

R: Podem ser estimadas com um erro pequeno a partir de uma única realização.

4 - A densidade espectral de um processo estocástico estacionário é uma representação da distribuição da sua potência pelas diferentes frequências porque:

R: Representa a distribuição de probabilidade do sinal no domínio das frequências.

5 - O ruído branco caracteriza-se por:

R: A sua média não variar com o tempo e os seus valores em intervalos de tempo distintos serem variáveis aleatórias independentes.

8 - Suponha que pretende dimensionar um observador para um sistema Determinístico-Estocástico e que pretende minimizar o erro do observador. A componente do sistema que deve considerar para a minimização do erro é:

R: Estocástica.