Exercícios Resolvidos: Subespaços e Autovalores

Considere o subespaço de R⁴: S = [(1,1,-2,4), (1,1,-1,2), (1,4,-4,8)]

a) O vetor (%IMAGE_1%, 1, -1, 2) pertence a S?

Sistema possível, os escalares para que v = (2/3, 1, -1, 2) pertença são x₁=0, x₂=5/9, x₃=1/9.

b) O vetor (0,0,1,1) pertence a S?

Sistema impossível, não há solução, logo não pertence.

Seja W o subespaço de M(2,2) definido por W = { %IMAGE_2% }

a) [%IMAGE_3%] ∈ W? Pertence.

b) [%IMAGE_4%] ∈ W? Não pertence.

Considere o subespaço de R⁴ gerado pelos vetores:

V₁=(1,-1,0,0), V₂=(0,0,1,1), V₃=(-2,2,1,1) e V₄=(1,0,0,0).

a) O vetor (2,-3,2,2) ∈ [V₁, V₂, V₃, V₄]?

Pertence, pois, utilizando as técnicas de escalonamento, o sistema é possível e possui infinitas soluções:

• x - 2z + t = 2
• -x + 2 = -3
• y + z = 2
• y + z = 2

b) [V₁, V₂, V₃, V₄] = R⁴?

Não, pois a dimensão do subespaço é 3, enquanto a dimensão de R⁴ é 4.

Considere o sistema linear:

2x₁ + 4x₂ - 6x₃ = a

x₁ - x₂ + 4x₃ = b

6x₂ - 14x₃ = c

Que condições devemos impor a a, b, c para que W seja subespaço vetorial de R³?

a = b = c = 0.

Subespaços de R³

Seja U subespaço de R³ gerado por (1, 0, 0) e W subespaço de R³ gerado por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R³ = U + W.

Dim(U)=1 e Dim(W)=2. Os três vetores são LI e, portanto, geram R³.

Autovalores e Autovetores

3) T:R²→R² tal que T(x,y)=(x+y, 2x+y)

λ₁= 1 %IMAGE_5% V₁=(x, %IMAGE_6%); λ₂=1 - %IMAGE_7% v₂=(x, -%IMAGE_8%

5) T:P₂→P₂ tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b

λ=1, v=ax² + bx + b

7) T:R⁴→R⁴ tal que T(x,y,z,w)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+w)

λ=1, v=(0,0,0,w)

Cálculo de Autovetores e Autovalores de Matrizes

9. %IMAGE_9% λ₁=1, v₁=(x, 0); λ₂= -1, v₂=(-y, y)

10. %IMAGE_10% λ₁=0, v₁=(x, -x) (x≠0); λ₂= 2, v₂=(x, x) (x≠0)

P(λ)=det(A-λI) = %IMAGE_15% = (1-λ)(1-λ) - 1 = λ² - 2λ = 0. Logo, λ=0 ou λ=2.

11. %IMAGE_16% λ₁=1, v=(x, 0, 0)

12. %IMAGE_17% %IMAGE_18% λ₁=3, v₁=(x,0,0); λ₂= 3, v₂=(x, 0, 0); λ₃= -1

13. %IMAGE_22% λ₁=1, v₁=(-y, y, 0); λ₂= -1, v₂=(x, 2x, -x); λ₃= 3, v₃=(x, 0, x)

14. %IMAGE_23% λ₁=1, v₁=(z, -2z, z); λ₂=4, v₂=(z, z, z)

15. %IMAGE_24% λ₁=1, v₁=(-z, z, z); λ₂=1, v₂=(-z, z, z); λ₃= -1, v₃=(z, -z, z)

16. %IMAGE_25% λ₁=4, v₁=(y, y, 0); λ₂= 4, v₂=(-z, 0, z); λ₃= -2, v₃=(x, 0, x)

17. %IMAGE_26% λ₁= -3, v₁=(2y-7z, y, z); λ₂= 9, v₂=(x, x, x)

19. Seja A %IMAGE_27%

a) Espaço real: λ= -2, v=(2x, x, -x)

b) Espaço complexo: λ₁= -2, v₁=(2x, x, -x); λ₂= i, v₂=[(-1+i)y, y, (1+i)y]; λ₃= -i, v₃=[(-1-i)y, y, (1-i)y]