Exercícios de Testes de Hipóteses: Guia Completo

Lista de Exercícios de Inferência Estatística

1. Uma linha de produção está calibrada para colocar 160 ml (com desvio-padrão de 8 ml) por frasco. Valores acima ou abaixo dessa média são considerados críticos e a linha de produção deve ser suspensa se qualquer um dos dois ocorrer. Um inspetor do controle de qualidade retira 30 amostras a cada 2 horas e precisa tomar a decisão de parar ou não a linha de produção para calibragem. Se a média amostral for de 158,20 ml, o que o inspetor deveria recomendar aos responsáveis pela área de produção? Considere α = 5%.

2. O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido de 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir este tempo e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução gasto por cada um. O tempo médio da amostra foi de 85 minutos com desvio-padrão de 12 minutos. Este resultado evidencia uma melhora no tempo gasto para realizar a tarefa? Apresente a conclusão para o nível de 5% de significância e diga quais as suposições teóricas necessárias que devem ser feitas para resolver o problema.

3. Uma das maneiras de controlar a qualidade de um produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de empacotar café está regulada para encher os pacotes com desvio-padrão de 10 g e média de 500 g, onde o peso de cada pacote distribui-se normalmente. Colhida uma amostra de n = 16, observou-se uma variância de 169 g². É possível afirmar com este resultado que a máquina está desregulada quanto à variabilidade, supondo uma significância de 5%?

4. Sabe-se por experiência que 5% da produção de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas. Ao nível de 15%, verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente.

5. Há alguns anos, um levantamento entre 80 estudantes revelou que 7,5% pretendiam prestar vestibular para Engenharia. Em um levantamento mais recente compreendendo 75 estudantes, 12% deles pretendiam prestar vestibular para Engenharia. Sendo α = 1%, você pode concluir que a proporção de estudantes que pretendem estudar Engenharia aumentou?

Resolução do Exercício 1: Teste para a Média (Variância Conhecida)

1. Hipóteses:

• H0: média = 160 (A máquina está calibrada)
• H1: média ≠ 160 (A máquina está descalibrada)

2. Dados e Cálculos:

• Média da população (μ) = 160
• Desvio-padrão (σ) = 8
• Tamanho da amostra (n) = 30
• Média da amostra (x̄) = 158,20
• Significância (α) = 5%

Como temos o desvio-padrão da população e a amostra é de 30 unidades, usamos o Teste Z (bicaudal).

• Z calculado = (158,20 - 160) / (8 / √30)
• Z calculado = -1,80 / 1,46 = -1,23

3. Conclusão:

Para um teste bicaudal a 5%, os limites de aceitação na tabela Z são -1,96 e +1,96. Como o valor calculado (-1,23) está dentro desse intervalo, nós aceitamos H0. Resposta: O inspetor não deve recomendar a parada da linha, pois a diferença não é estatisticamente significativa.

Resolução do Exercício 2: Teste para a Média (Amostra Pequena)

1. Hipóteses:

• H0: média = 100 (O tempo não melhorou/diminuiu)
• H1: média < 100 (O tempo médio diminuiu)

2. Dados e Cálculos:

• Média esperada (μ) = 100
• Tamanho da amostra (n) = 16
• Média da amostra (x̄) = 85
• Desvio-padrão da amostra (s) = 12

Como a amostra é menor que 30, usamos a tabela t de Student (unicaudal à esquerda) com graus de liberdade (gl) = 15 (n - 1).

• t calculado = (85 - 100) / (12 / √16)
• t calculado = -15 / 3 = -5

3. Conclusão:

O valor crítico na tabela t para 5% é -1,753. A região de rejeição é qualquer valor menor que este. Como -5 é muito menor que -1,753, nós rejeitamos H0. Resposta: Sim, o resultado evidencia uma melhora significativa. Para resolver o problema, é necessário supor que o tempo dos operários segue uma Distribuição Normal.

Resolução do Exercício 3: Teste para a Variância

1. Hipóteses:

• H0: variância = 100 (A máquina está regulada, pois 10² = 100)
• H1: variância ≠ 100 (A máquina está desregulada)

2. Dados e Cálculos:

• Variância esperada (σ²) = 100
• Variância da amostra (s²) = 169
• Tamanho da amostra (n) = 16 (gl = 15)

Usamos a distribuição Qui-Quadrado (χ²) bicaudal.

• χ² calculado = [ (16 - 1) * 169 ] / 100
• χ² calculado = (15 * 169) / 100 = 25,35

3. Conclusão:

Para 5% bicaudal, os limites na tabela Qui-Quadrado são 6,262 (inferior) e 27,488 (superior). Como o valor 25,35 está dentro desse intervalo, aceitamos H0. Resposta: Não é possível afirmar com 5% de significância que a máquina está desregulada quanto à sua variabilidade.

Resolução do Exercício 4: Teste para Proporção (Única Amostra)

1. Hipóteses:

• H0: proporção = 0,05 (O índice de defeitos é igual à média histórica)
• H1: proporção > 0,05 (O índice de defeitos do novato é maior)

2. Dados e Cálculos:

• Proporção histórica (p₀) = 0,05 (5%)
• Tamanho da amostra (n) = 600
• Defeituosas na amostra = 82
• Proporção da amostra (p̂) = 82 / 600 = 0,1367

Usamos o Teste Z para proporção (unicaudal à direita, 15%).

• Z calculado = (0,1367 - 0,05) / √[ (0,05 * 0,95) / 600 ]
• Z calculado = 0,0867 / 0,00889 = 9,75

3. Conclusão:

Para 15% à direita, o limite na tabela Z é aproximadamente 1,04. Como 9,75 é muito maior que 1,04, rejeitamos H0. Resposta: Sim. Há evidências estatísticas fortíssimas de que o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos.

Resolução do Exercício 5: Teste para Duas Proporções

1. Hipóteses:

• H0: proporção recente ≤ proporção antiga (Não aumentou)
• H1: proporção recente > proporção antiga (Aumentou)

2. Dados e Cálculos:

• Antigo: n = 80, proporção = 0,075 (Quantidade de alunos = 6)
• Recente: n = 75, proporção = 0,12 (Quantidade de alunos = 9)

Primeiro, calculamos a proporção misturada (agrupada) das duas amostras:

• Proporção agrupada (p̄) = (6 + 9) / (80 + 75) = 15 / 155 = 0,0968

Agora aplicamos o Teste Z para duas proporções:

• Z calculado = (0,12 - 0,075) / √[ 0,0968 * (1 - 0,0968) * (1/80 + 1/75) ]
• Z calculado = 0,045 / 0,0475 = 0,947

3. Conclusão:

Para um teste à direita com 1%, o limite na tabela Z é 2,33. Como 0,947 é menor que 2,33, nós aceitamos H0. Resposta: Não. Ao nível de 1%, não se pode concluir que a proporção de estudantes querendo Engenharia aumentou.