Exercícios de Testes Não Paramétricos
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1. Efeito da Intoxicação por Álcool sobre a Coordenação
Os escores obtidos foram: 10, −8, −6, −2, 15, 0, −7, 5, −8.
- Estimativa para o escore mediano.
- Intervalo de Confiança (IC) com α = 5% para o escore mediano.
- Probabilidade de cobertura do IC do item (b).
- Pode-se afirmar que há efeito da intoxicação por álcool sobre a coordenação das pessoas?
Resolução:
Os escores x em ordem crescente são: -8, -8, -7, -6, -2, 0, 5, 10 e 15.
- A mediana amostral é um estimador do escore mediano. Como n = 9, X(5) corresponde à mediana amostral, com estimativa x(5) = −2.
- Um IC para o escore mediano pode ser obtido com base na estatística do teste do sinal. Sabendo que para a distribuição Binomial(n = 9, p = 1/2), o quantil denotado por b1−α/2 = 0,975. Pela tabela correspondente, obtemos b1−α/2 = 7.
A posição do limite superior do IC é dada por OS = 7 + 1 = 8. A posição do limite inferior do IC é dada por OI = n + 1 − OS = 9 + 1 − 8 = 2. O IC é dado por [X(OI), X(OS)]. Com base nos dados, calculamos [x(2), x(8)] = (−8, 10). - A probabilidade de cobertura do intervalo é dada por Σ(de j = OI até OS − 1) P(X = j) = 0,070 + 0,164 + 0,246 + 0,246 + 0,164 + 0,070 = 0,960.
- Podemos perceber que o valor 0 pertence ao intervalo. Desse modo, não se pode afirmar que há efeito da intoxicação por álcool sobre a coordenação das pessoas.
2. Teste de Dose Efetiva Mediana de uma Droga
Verificação se a dose efetiva mediana de uma certa droga ultrapassa 0,5 em nove laboratórios. Os dados coletados foram: 0,41; 0,52; 0,91; 0,45; 1,06; 0,82; 0,78; 0,68 e 0,75.
- Apresente um teste com nível de significância nominal de 5%. O teste é conservador ou liberal?
- Apresente uma solução com base no valor-p do teste.
Resolução:
A um nível de significância nominal α = 0,05, deve ser testada a hipótese H0: θ = θ0 contra H1: θ > θ0, em que θ denota a dose efetiva mediana e θ0 = 0,5. Não há empates e nenhuma observação é igual ao valor de teste (θ0).
- Com base no teste do sinal, inicialmente calculamos o quantil 1 − α = 0,95 da distribuição Binomial(n = 9, p = 1/2), denotado por b1−α. Consultando a tabela da função de distribuição acumulada, obtemos b1−α = 7. O nível de significância exato do teste é 0,070 + 0,018 + 0,002 = 0,080, que é maior do que 0,05; logo, o teste é liberal.
A estatística de teste é B = Σ(de i=1 até n) I(Zi > 0), em que Zi = Xi − θ0. Aplicando a transformação zi = xi − θ0, obtemos:
-0,09; 0,02; 0,41; -0,05; 0,56; 0,32; 0,28; 0,18 e 0,25.
Como B(obs) = 7, rejeitamos H0. A um nível de significância de 8%, concluímos que a dose efetiva mediana ultrapassa 0,5. - Como B(obs) = 7, o valor-p = Σ(de j=7 até 9) P(B ≥ j). Obtemos valor-p = 0,080 (conforme calculado no item a). A um nível de significância de 5%, conclui-se que a dose efetiva mediana não ultrapassa 0,5.
3. Teste de Kolmogorov-Smirnov para Função de Distribuição
Verifique se as observações: 0,65; 0,30; 0,57; 11,36; 4,04; 1,30; 6,68 e 4,27 foram obtidas de uma população com função de distribuição acumulada:
F(x) = 1 − exp(−x/2), se x ≥ 0 e F(x) = 0, se x < 0.
O que se pode afirmar sobre o valor-p do teste realizado?
Resolução:
H0: F(x) = F0(x) vs H1: F(x) ≠ F0(x), em que F0(x) = 1 − exp(−x/2), se x ≥ 0 e F0(x) = 0, se x < 0. Adotamos um nível de significância de 5%. Como a hipótese nula é simples, usaremos a estatística de Kolmogorov-Smirnov.
As n = 8 observações em ordem crescente são: 0,30; 0,57; 0,65; 1,30; 4,04; 4,27; 6,68 e 11,36. Não há empates.
A função de distribuição empírica Sn(x) tem incremento igual a 1/n = 1/8 em cada um dos valores observados.
| x | Sn(x) | F0(x) | | Sn(x) − F0(x) | | | Sn(x − ε) − F0(x) | |
|---|---|---|---|---|
| 0,30 | 0,125 | 0,139 | 0,014 | 0,139 |
| 0,57 | 0,250 | 0,248 | 0,002 | 0,123 |
| 4,04 | 0,625 | 0,867 | 0,242 | 0,367 |
Dn(obs) = 0,367. Consultando a Tabela N3, obtemos Dn(1−α) = 0,454. Como Dn(obs) < Dn(1−α), não rejeitamos H0. A um nível de significância de 5%, não podemos rejeitar a afirmação de que a variável segue a distribuição especificada.
(b) Pela tabela de Kolmogorov-Smirnov (K-S), percebemos que 0,358 < Dn(obs) < 0,410. Portanto, podemos afirmar que 0,10 < valor-p < 0,20. De fato, o valor-p exato é 0,1784.