Forças Conservativas e as Leis de Kepler

Forças Conservativas

Para diversos tipos de forças, o trabalho realizado para mover um corpo entre dois pontos depende do caminho seguido (como ocorre com as forças de atrito). No entanto, existe um tipo particular de forças denominadas forças conservativas.

Uma força conservativa é capaz de recuperar o trabalho realizado contra ela. Elas são caracterizadas por realizar um trabalho que depende apenas das posições inicial e final, e não do caminho percorrido. Por essa razão, o trabalho realizado em um caminho fechado é zero. Esta é uma propriedade das forças centrais, e os campos onde essas forças atuam são chamados de campos conservativos.

Considerando que a realização de trabalho é acompanhada por uma mudança na energia, podemos definir um novo tipo de energia associada à posição: a energia potencial. O trabalho realizado por essa força é igual à diferença entre os valores inicial e final dessa energia, que depende apenas das coordenadas.

5.3. Energia Potencial Gravitacional

Para derivar a expressão da energia, calculamos o trabalho realizado pela gravidade de um ponto (infinito) até qualquer ponto do campo a uma distância r do objeto que cria o campo:

O resultado é obtido através da aplicação das propriedades das integrais definidas. Definindo a fonte de energia potencial (zero) no infinito, chegamos à expressão para a energia potencial de um objeto de massa m' localizado a uma distância r de um objeto de massa m:

A energia potencial gravitacional é sempre negativa e aumenta à medida que se afasta da superfície da Terra.

Leis de Kepler

• 1ª Lei de Kepler (Lei das Órbitas): Todos os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol posicionado em um dos focos. Como o vetor momento angular (L) é constante no sistema, o plano da órbita não muda.
• 2ª Lei de Kepler (Lei das Áreas): O raio vetor que liga o planeta ao Sol "varre" áreas iguais em tempos iguais, ou seja, a velocidade setorial permanece constante.

A área varrida depende da massa, do módulo do momento angular e do tempo. Como o momento angular L é constante na ausência de forças externas, para o mesmo intervalo de tempo, a área varrida será a mesma. Isso indica que os planetas viajam mais rápido no periélio (ponto mais próximo ao Sol) do que no afélio (ponto mais distante).

• 3ª Lei de Kepler (Lei dos Períodos): Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos semi-eixos de suas órbitas: T² = k · R³.