Guia de Geometria Analítica: Vetores, Retas e Cônicas

Classificado em Matemática

Escrito em 27 de Maio de 2026 em português com um tamanho de 5,15 KB

Norma: |v| = √a² + b²
Versor: Sempre é unitário: |v / |v||
Produto Escalar: v * u = (x1x2, y1y2)
- Se o ângulo for = 90°, v * u = 0
- Se o ângulo for menor que 90°, v * u > 0
- Se o ângulo for maior que 90°, v * u < 0
Ângulo de um vetor: cos θ = (u * v) / (|v| * |u|)
Produto Vetorial: v x u = determinante |i j k|
Área do Paralelogramo: A = |v x u| ou A = b * h
Produto Misto: Determinante das coordenadas |a1 b1 c1|, |a2 b2 c2|, |x y z|

Equação Vetorial da Reta: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t * (a, b, c) (Ponto dado + t * Vetor Diretor)
Equação Paramétrica: r: { x = x1 + t*a; y = y1 + t*b; z = z1 + t*c }
Equação Simétrica: (x - x1) / a = (y - y1) / b = (z - z1) / c
Equação Reduzida (em função de x): y = (b/a) * x - (b/a) * x1 + y1; z = (c/a) * x - (c/a) * x1 + z1

Retas paralelas ao plano:
- xOy: V = (a, b, 0)
- xOz: V = (a, 0, c)
- zOy: V = (0, b, c)
Reta paralela ao eixo coordenado:
- Oz: V = (0, 0, z)
- Oy: V = (0, b, 0)
- Ox: V = (a, 0, 0)
Ângulo de duas retas: cos θ = |v1 * v2| / (|v1| * |v2|)
Condição de paralelismo de duas retas: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
Condição de ortogonalidade de duas retas: v1 * v2 = 0
Condição de coplanaridade de duas retas: (v1, v2, A1A2) = produto misto (determinante) = 0
Interseção de duas retas:
- Se coplanares: a) concorrentes r1 ∩ r2 = P; b) paralelas não coincidentes r ∩ s = conjunto vazio; paralelas coincidentes r ∩ s = r ou s
- Se reversas (planos diferentes): r ∩ s = conjunto vazio
- Ponto de interseção: (x, y, z) têm que ser iguais nas duas retas

Equação Geral do Plano: ax + by + cz + d = 0, onde n(a, b, c) e A(x, y, z)
Equação Paramétrica do Plano: x = x1 + a1h + a2k; y = y1 + b1h + b2k; z = z1 + c1h + c2k
Equação Vetorial do Plano: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + h(a1, b1, c1) + k(a2, b2, c2)
Ângulo de dois planos: cos θ = |n1 * n2| / (|n1| * |n2|)
Interseção entre planos:
- Paralelos: π1 ∩ π2 = nulo (n1 // n2)
- Paralelos coincidentes: π1 ∩ π2 = π1 ou π2
- Transversos: π1 ∩ π2 = reta
Ângulo entre reta e plano: sen θ = |v * n| / (|v| * |n|)

Distância entre pontos: d(AB) = √AB
Distância entre ponto e reta: d(P, r) = |v x AP| / |v|
Distância entre ponto e plano: d(P, π) = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²)
Distância entre duas retas:
- a) Concorrentes: d(r, s) = 0
- b) Paralelas: d(r, s) = d(P, s)
- c) Reversas: d(r, s) = |(AB, vr, vs)| / |vr x vs|
Distância entre planos: d(P, π) = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²)
Distância entre reta e plano: d(π, r) = |AB x v| / |v|

Parábola: Foco (ponto F), Diretriz (reta r), Eixo (passa pelo foco e é perpendicular à diretriz), Vértice (ponto V de interseção com o eixo).
- 1) Eixo da parábola é o eixo Y: x² = 4py (p > 0 concavidade para cima; p < 0 concavidade para baixo)
- 2) Eixo da parábola é o eixo X: y² = 4px (p > 0 concavidade para a direita; p < 0 concavidade para a esquerda)
Elipse: Ponto P(x, y) onde d(P, F1) + d(P, F2) = constante.
- Elementos: Focos (F1, F2), Centro (ponto médio C), Eixo maior (contém os focos), Eixo menor (perpendicular ao maior pelo centro), Vértices (A1, A2, B1, B2).
- Relações: d(F1, F2) = 2c; Eixo maior = 2a; Eixo menor = 2b. Excentricidade e = c/a (0 a 1). Relação: a² = b² + c².
- Eixo maior no eixo X: x²/a² + y²/b² = 1
- Eixo maior no eixo Y: x²/b² + y²/a² = 1 (o maior denominador é a²)
- Centro fora da origem (h, k): (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1 (eixo X) ou (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1 (eixo Y)
Hipérbole: Ponto (x, y) onde |d(P, F1) - d(P, F2)| = 2a.
- Elementos: Focos (F1, F2), Centro (C), Vértices (A1, A2), Eixo real (2a), Eixo imaginário (2b). Excentricidade e = c/a (e > 1). Relação: c² = a² + b².
- Centro na origem: x²/a² - y²/b² = 1 (eixo real em X) ou -x²/b² + y²/a² = 1 (eixo real em Y)
- Centro fora da origem (h, k): (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 (eixo real paralelo a X) ou -(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1 (eixo real paralelo a Y)

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