Guia de Matrizes: Tipos, Operações e Método de Gauss

Método de Gauss para Matriz Inversa

Seja A = (a_ij) uma matriz quadrada de ordem n. Para calcular a matriz inversa de A, denotada por A^-1, siga estes passos:

Etapa 1. Construir a matriz M = (A | I) de dimensão n x 2n, ou seja, a matriz A está na metade esquerda de M e a matriz identidade I está à direita.

Etapa 2. Utilizando a primeira linha de M, abaixo da primeira diagonal principal (elemento a₁₁, que chamaremos de pivô), coloque zeros. Trabalhe conforme descrito no exemplo a seguir.

Exemplo: Considere uma matriz arbitrária 3x3.

Etapa 1. [Montagem da matriz M]

Etapa 2. [Escalonamento]

O próximo passo é o mesmo que o anterior, mas desta vez assumindo o segundo termo da diagonal como pivô. No último termo da diagonal, procedemos como antes, mas colocando zeros acima do novo pivô. Note que, ao isolar o último termo da matriz diagonal, a matriz A torna-se uma matriz triangular.

Uma vez concluídas todas as etapas, a metade esquerda da matriz M torna-se uma matriz diagonal. Neste ponto, ela deve ser transformada na matriz identidade, se necessário, dividindo as linhas de M por um escalar.

Exemplo: Suponha que queremos encontrar a inversa de uma matriz. Primeiro construímos a matriz M = (A | I).

Se a metade esquerda de M é triangular, então A é inversível. Se tivesse havido uma linha com todos os zeros no meio de M, a operação teria terminado (pois A não seria inversível).

Então, tomamos como pivô o elemento da posição 3,3, colocamos zeros acima e continuamos a operar até obtermos uma matriz diagonal.

Como a matriz colocada na metade esquerda é diagonal, não devemos prosseguir mais. Para transformar a matriz diagonal em uma matriz identidade, devemos dividir a segunda linha por -1 (ou pelo escalar correspondente).

A matriz que restou na metade direita de M é precisamente a inversa de A. Para verificar se o resultado está correto, multiplique A · A^-1, obtendo como resultado a matriz identidade I.

Confira: A · A^-1 = I

Classificação e Tipos de Matrizes

Matriz Linha

Uma matriz linha é composta de uma única linha.

Matriz Coluna

A matriz coluna tem uma única coluna.

Matriz Retangular

A matriz retangular tem um número diferente de linhas e colunas, com dimensão m x n.

Matriz Quadrada

A matriz quadrada tem o mesmo número de linhas e colunas. Os elementos da forma a_ii compõem a diagonal principal. Os elementos da diagonal secundária são formados por i + j = n + 1.

Matriz Nula

Em uma matriz nula, todos os elementos são iguais a zero.

Matriz Triangular Superior

Em uma matriz triangular superior, os elementos localizados abaixo da diagonal principal são zeros.

Matriz Triangular Inferior

Na matriz triangular inferior, os elementos acima da diagonal principal são zeros.

Matriz Diagonal

Em uma matriz diagonal, todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são zero.

Matriz Escalar

Uma matriz escalar é uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais.

Matriz Identidade ou Unidade

Uma matriz identidade é uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

Matriz Transposta

Dada uma matriz A, a matriz transposta (A^t) é obtida trocando-se as linhas pelas colunas.

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (k · A)^t = k · A^t
• (A · B)^t = B^t · A^t

Matriz Regular

Uma matriz regular é uma matriz quadrada que possui uma inversa.

Matriz Singular

Uma matriz singular não possui inversa.

Matriz Idempotente

A matriz A é idempotente se: A² = A.

Matriz de Involução

A matriz A é involutiva se: A² = I.

Matriz Simétrica

Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada que verifica: A = A^t.

Matriz Antissimétrica ou Hemissemétrica

Uma matriz antissimétrica ou hemissemétrica é uma matriz quadrada que verifica: A = -A^t.

Matriz Ortogonal

Uma matriz é ortogonal se satisfaz a condição: A · A^t = I.

Operações com Matrizes

Soma de Matrizes

Dadas duas matrizes de mesma dimensão, A = (a_ij) e B = (b_ij), a soma é definida como: A + B = (a_ij + b_ij). Ou seja, os elementos são obtidos pela adição dos elementos que ocupam a mesma posição.

Propriedades da soma:

• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Comutativa: A + B = B + A
• Elemento Neutro: 0 + A = A (onde 0 é a matriz nula)
• Elemento Simétrico: A + (-A) = 0 (onde -A é a matriz oposta)

Produto de Matrizes

Duas matrizes A e B podem ser multiplicadas se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M_{m x p}

O elemento c_ij da matriz produto é obtido pela multiplicação de cada elemento da linha i da matriz A por cada elemento correspondente da coluna j da matriz B, somando os resultados.

Propriedades do Produto de Matrizes

• Associativa: A · (B · C) = (A · B) · C
• Elemento Neutro: A · I = A (onde I é a matriz identidade)
• Não é comutativo: A · B ≠ B · A
• Distributiva em relação à soma: A · (B + C) = A · B + A · C