Método dos Mínimos Quadrados no MATLAB: estimação de parâmetros e ajuste de curvas

Resumo

O documento apresenta o método dos mínimos quadrados, que minimiza o somatório dos erros quadráticos, e mostra a sua aplicação em MATLAB. São abordados a estimação de parâmetros de um modelo ARX, uma simulação com entrada genérica e um exemplo de ajuste de curvas por regressão polinomial. Um estudante aprende os passos gerais para analisar dados experimentais e obter os parâmetros theta.

Pontos-chave

O método dos mínimos quadrados visa minimizar o somatório dos erros quadráticos.
Num modelo ARX, o vetor de regressores é psi(k-1) = [y(k-1) y(k-2) u(k-3) u(k-1) u(k-2)].
O vetor de resíduos é calculado como qsi = Y - psi*Theta.
Os parâmetros são estimados pela equação theta = inv(Psi'*Psi)*Psi'*Y.
No ajuste de curvas seguem-se quatro passos: obter dados, analisar e escolher a curva, aplicar o método e avaliar o erro médio quadrático.
Na regressão polinomial, a matriz A contém as potências de x e os valores de y_ap = A*th dão a aproximação.

Teste-se

Método dos Mínimos Quadrados: Estimação de Parâmetros

O método dos mínimos quadrados visa minimizar o somatório dos erros quadráticos.

1. Estimação de Parâmetros de um Modelo ARX

% Definindo os dados de entrada [u(k)] e saída [y(k)]
y = [12.2 11.8 11.6 11.6 11.8 12.2 13.0 14.4 16.2 15.8];
u = [2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.23 2.2 2.2 2.21 2.2];
% O vetor de regressores é:
% psi(k-1) = [y(k-1) y(k-2) u(k-3) u(k-1) u(k-2)]
Y = y(4:end)';
% Aplicando a equação matricial (5.43) [Aguirre], obtém-se o vetor 'Theta':
% O vetor de resíduos será:
qsi = Y - psi*Theta;
% O produto interno dos regressores com o vetor de resíduos confirma a ortogonalidade.

2. Mínimos Quadrados com Entrada Genérica

un = [2 5 8 14 26 23 18 15 6 10];
yn = [0 0 0];
a1 = Theta(1); a2 = Theta(2); b1 = Theta(3); b2 = Theta(4); b3 = Theta(5);
for k = 4:1:length(un)
    yn(k) = a1*yn(k-1) + a2*yn(k-2) + b1*un(k-3) + b2*un(k-1) + b3*un(k-2);
end
theta = inv(Psi'*Psi)*Psi'*Yn;

3. Exemplo Prático: Ajuste de Curvas

Passo a passo para análise de dados experimentais:

Passo 1: Obter dados (x, y).
Passo 2: Analisar os dados e decidir a curva.
Passo 3: Aplicar o método para encontrar os parâmetros (theta).
Passo 4: Avaliar o erro médio quadrático.

% Exemplo de regressão polinomial
A = [x.^5 x.^4 x.^3 x.^2 x x.^0 cos(x)];
th = inv(A'*A)*A'*y;
y_ap = A*th;

Perguntas frequentes

O que o método dos mínimos quadrados procura minimizar?

O método procura minimizar o somatório dos erros quadráticos entre os valores observados e os valores estimados pelo modelo.

Como se calculam os parâmetros theta segundo o documento?

Usa-se a expressão theta = inv(Psi'*Psi)*Psi'*Y, que resolve a equação matricial do método.

Quais são os passos para o ajuste de curvas com dados experimentais?

Obter os dados (x, y), analisá-los e escolher a curva, aplicar o método para encontrar theta e avaliar o erro médio quadrático.