Guia Prático: Método dos Mínimos Quadrados no MATLAB

Método dos Mínimos Quadrados: Estimação de Parâmetros

O método dos mínimos quadrados visa minimizar o somatório dos erros quadráticos.

1. Estimação de Parâmetros de um Modelo ARX

% Definindo os dados de entrada [u(k)] e saída [y(k)]
y = [12.2 11.8 11.6 11.6 11.8 12.2 13.0 14.4 16.2 15.8];
u = [2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.23 2.2 2.2 2.21 2.2];
% O vetor de regressores é:
% psi(k-1) = [y(k-1) y(k-2) u(k-3) u(k-1) u(k-2)]
Y = y(4:end)';
% Aplicando a equação matricial (5.43) [Aguirre], obtém-se o vetor 'Theta':
% O vetor de resíduos será:
qsi = Y - psi*Theta;
% O produto interno dos regressores com o vetor de resíduos confirma a ortogonalidade.

2. Mínimos Quadrados com Entrada Genérica

un = [2 5 8 14 26 23 18 15 6 10];
yn = [0 0 0];
a1 = Theta(1); a2 = Theta(2); b1 = Theta(3); b2 = Theta(4); b3 = Theta(5);
for k = 4:1:length(un)
    yn(k) = a1*yn(k-1) + a2*yn(k-2) + b1*un(k-3) + b2*un(k-1) + b3*un(k-2);
end
theta = inv(Psi'*Psi)*Psi'*Yn;

3. Exemplo Prático: Ajuste de Curvas

Passo a passo para análise de dados experimentais:

• Passo 1: Obter dados (x, y).
• Passo 2: Analisar os dados e decidir a curva.
• Passo 3: Aplicar o método para encontrar os parâmetros (theta).
• Passo 4: Avaliar o erro médio quadrático.

% Exemplo de regressão polinomial
A = [x.^5 x.^4 x.^3 x.^2 x x.^0 cos(x)];
th = inv(A'*A)*A'*y;
y_ap = A*th;