Guia Prático de Métodos Numéricos no MATLAB

Métodos Numéricos no MATLAB

Operações Básicas com Matrizes

Crie uma matriz 3x3:

>> A = [1 5 6; 7 4 2; -3 6 7]

A transposta de [A]:

>> A'

Criaremos uma outra matriz 3x3 com base em linhas individuais. Primeiro são criados 3 vetores linha:

>> x = [8 6 9];
>> y = [-5 8 1];
>> z = [4 8 2];

Depois, podemos combiná-los para formar a matriz:

>> B = [x; y; z]

Podemos somar ou subtrair A e B:

>> C = A + B

Duas formas de multiplicação (com dimensões internas compatíveis):

>> A * B
>> A .* B

Inversão e Identidade

A inversa da matriz pode ser calculada com a função inv:

>> AI = inv(A)

Para verificar se o resultado está correto, a inversa multiplicada pela matriz original fornece a matriz identidade:

>> A * AI

A função eye pode ser usada para gerar uma matriz identidade:

>> I = eye(3)

Permutação e Manipulação

Podemos definir uma matriz de permutação para trocar linhas e colunas:

>> P = [0 0 1; 0 1 0; 1 0 0]
>> PA = P * A  % Troca de linhas
>> AP = A * P  % Troca de colunas

Matrizes podem ser aumentadas:

>> Aum = [A I]

As dimensões de uma matriz podem ser determinadas utilizando a função size:

>> [n, m] = size(Aum)

Sistemas de Equações Lineares

O MATLAB fornece dois meios diretos para resolver sistemas lineares:

• Operador barra invertida (divisão à esquerda): x = A \ b
• Inversão da matriz: x = inv(A) * b

Determinantes e Regra de Cramer

O determinante pode ser calculado com a função det:

>> D = det(A)

Implementação de Algoritmos

Eliminação de Gauss Ingênua

function x = GaussIngenua(A, b)
    [m, n] = size(A);
    if m ~= n, error('A matriz A deve ser quadrada'); end
    nb = n + 1; Aum = [A b];
    for k = 1:n-1
        for i = k+1:n
            fator = Aum(i, k) / Aum(k, k);
            Aum(i, k:nb) = Aum(i, k:nb) - fator * Aum(k, k:nb);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = Aum(n, nb) / Aum(n, n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (Aum(i, nb) - Aum(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / Aum(i, i);
    end
end

Eliminação de Gauss com Pivotamento

function x = GaussPivot(A, b)
    [m, n] = size(A);
    if m ~= n, error('A matriz A deve ser quadrada'); end
    nb = n + 1; Aum = [A b];
    for k = 1:n-1
        [maior, i] = max(abs(Aum(k:n, k)));
        ipr = i + k - 1;
        if ipr ~= k, Aum([k, ipr], :) = Aum([ipr, k], :); end
        for i = k+1:n
            fator = Aum(i, k) / Aum(k, k);
            Aum(i, k:nb) = Aum(i, k:nb) - fator * Aum(k, k:nb);
        end
    end
    x = zeros(n, 1);
    x(n) = Aum(n, nb) / Aum(n, n);
    for i = n-1:-1:1
        x(i) = (Aum(i, nb) - Aum(i, i+1:n) * x(i+1:n)) / Aum(i, i);
    end
end

Decomposição LU

Utilize o MATLAB para calcular a decomposição LU:

>> [L, U] = lu(A)