Semelhança em Escoamento de Tubos e Corpos Submersos

Modelo para Escoamento em Tubos Fechados

A força dominante é a de inércia, portanto, o Número de Reynolds (Re) é um parâmetro de semelhança fundamental. Por outro lado, se o número de Mach for baixo, os efeitos de compressibilidade são desprezíveis. Há ainda a semelhança geométrica l₁, l₂, l₃, onde L são as dimensões do sistema: π₁ = l_i/L.

Além da geometria básica, a rugosidade é importante, sendo definida pelo termo π = ε/L (em escala para semelhança geométrica completa).

Note que a superfície do modelo precisa ser mais lisa que a do protótipo se a escala for menor que 1, pois ε_m = λ_ε.

Assim, π_dependente = Φ_v(l_i/L, ε/L, ρvL/μ).

• Os dois primeiros indicam o critério de semelhança geométrica: l_im/L_m = l_i/L e ε_m/L_m = ε/L.
• Escolhendo λ_L, todos os outros comprimentos devem apresentar a mesma escala.

2º Critério: Número de Reynolds (Re)

(ρ_m v_m L_m) / μ_m = (ρ v L) / μ

Assim, a relação da velocidade fica:

v_m/v = (μ_m/μ) * (L/L_m) * (ρ/ρ_m)

Se os fluidos forem iguais (μ_m/μ = 1 e ρ/ρ_m = 1), então: v_m = v / λ_L.

Ou seja, a velocidade do fluido no modelo é maior que no protótipo se a escala for menor que 1. Isso pode tornar difícil operar o modelo, pois v_m pode ser muito alto.

Análise de Pressão

A variável dependente é a variação de pressão: π₁ = Δp / (ρv²). Se conhecemos a variação Δp_m no modelo, o problema está resolvido.

Exemplo Prático

Escoamento em uma válvula com seção Φ = 610 mm, Q = 0,85 m³/s, fluido = H₂O. Para semelhança completa (Re_m = Re):

(v_m D_m) / ν_m = (v D) / ν. Se o fluido é o mesmo: v_m/v = D/D_m.

Como a vazão é Q = vA, temos: Q_m/Q = (v_m A_m) / (v A) = (D/D_m) * (A_m/A) = (D/D_m) * (D_m/D)² = D_m/D.

Q_m = (D_m/D) * Q

Q_m = (76,2 * 10⁻³ / 610 * 10⁻³) * 0,85 = 0,11 m³/s.

Escoamento em Torno de Corpos Submersos

Considera-se semelhança geométrica + Re. A gravidade (g) não afeta o escoamento, logo, o Número de Froude (Fr) é desnecessário. A tensão superficial não é importante, pois não há interface entre dois fluidos.

• L = comprimento característico do sistema.
• l_i = demais comprimentos.
• ε/L = rugosidade relativa.
• ρvL/μ = Número de Reynolds (Re).