Sistemas de Equações Não Lineares e Métodos Numéricos

Capítulo 4: Sistemas de Equações Não Lineares

Matriz Jacobiana: J = [df1/dx1 df1/dx2...; df2/dx1 df2/dx2]

Fórmula de Iteração: xk+1 = xk - J-1(xk) ⋅ f(xk)

Na Prática:

• Δx = xk+1 - xk
• J(xk) ⋅ Δx = -F(xk) (Sistema de equações lineares)
• xk+1 = xk + Δx
• Convergência: Quadrática

Conceitos de Álgebra Linear

• Gain(x): |Ax| / |x| → fator de ampliação do operador f(x) = Ax na direção de x.
• Matriz Singular: det(A) = 0.
• Matriz Simétrica: A = AT.
• Espaço Gerado (Range(A)): As colunas de U que têm como correspondentes colunas não nulas em Σ formam uma base ortonormal do range(A).
• Espaço Nulo (Null(A)): As colunas de V que têm como correspondentes colunas nulas em Σ formam uma base ortonormal do null(A).
• Rank(A): Número de colunas linearmente independentes (LI).

Sistema Ax = B

Para x ∈ ℜn e B ∈ ℜm:

• B ∈ Range(A):
  • 1 solução → rank(A) = rank(A expandida) = n.
  • Infinitas soluções → rank(A) = rank(A expandida) < n.
• B ∉ Range(A): Não tem solução.
• Teorema: range(A) + null(A) = n.

Normas

• Norma Máxima (∞): No caso de uma norma matricial:
  • Linhas: A linha que tiver o maior somatório em módulo.
  • Colunas: A coluna que tiver o maior somatório em módulo.
• Norma da Soma (||x||₁): Somatório do módulo dos elementos de um vetor.
• Norma Euclidiana (||x||₂): Raiz do somatório dos quadrados dos elementos de um vetor.
• |x| = max gain(x)

Erros Computacionais

• Métodos Diretos: Utilizam um número de passos finitos (ex: Cramer e Gauss). Erro total = Erro de entrada + Erro de aritmética.
• Métodos Iterativos: Processos iterativos (ex: Jacobi e Gauss-Seidel). Erro total = Erro de entrada + Erro de aritmética + Erro de discretização.

Etapas da Solução de Sistemas Lineares

1. Descomplexificação: Transformação de um sistema complexo em um sistema real.
2. Estruturação: Escolha de um algoritmo eficiente.
3. Cálculo: Execução e estimativa de exatidão.

Circuitos Elétricos com i:

Sendo A1 uma matriz real e A2 uma matriz imaginária:
[A1 -A2; A2 A1] × [X1; X2] = [B1; B2]

Método de Eliminação de Gauss

Mais conhecido e usado para pequeno porte (até 30 variáveis), médio porte (até 50 variáveis) e grande porte/denso (mais de 50 variáveis).

• Realiza a triangularização e depois a retrossubstituição.
• Produz solução exata desde que A não seja singular e haja troca de linhas quando necessário.
• Gauss com Pivoteamento: Seleciona o maior elemento absoluto de cada coluna a cada iteração para minimizar erros de arredondamento.

Complexidade:

• n² + 1/3(n - 1)(n + 1)n ≈ O(n³) multiplicações ou divisões.
• n(n - 1) + 1/6(n - 1)(2n - 1)n ≈ O(n³) adições ou subtrações.

Condicionamento de uma Matriz

Resíduo: r = b - Ax

Número de Condicionamento (κ(A)): κ(A) = ||A||∞ ⋅ ||A-1||∞

Quanto maior o κ, mais sensível é o sistema.

Propriedades:

• κ(A) ≥ 1, pois 1 = ||I|| = ||AA-1|| ≤ ||A|| ⋅ ||A-1||.
• κ(I) = 1.
• Para todo α ∈ ℜ, κ(αA) = κ(A).
• Se D = diag(d1, d2, ..., dn), então κ(D) = max{|dj|} / min{|dj|}.
• DIGSE(x1) ≥ DIGSE(b1) - log(κ(A)).

Mal-condicionado: Quando a aproximação de menor resíduo não é a mais exata. Pequenas alterações na entrada geram grandes erros na saída.

Refinamento de Gauss

Seja Ax = b e xk a sequência obtida por refinamentos. Se κ(A) < 1 / (16u(n³ + 3n²)) e os resíduos rk são calculados com precisão dupla, então xk converge para a solução exata.

Passos:

1. Achar raízes com Gauss com pivoteamento (x1).
2. Calcular Ax1.
3. Calcular o resíduo r1 = b - Ax1.
4. Resolver o sistema Az1 = r1.
5. Calcular o próximo iterando: x2 = x1 + z1 (onde z1 é a correção).

Análise via Refinamento:

• Mal-condicionado: Resíduos pequenos, mas correções grandes.
• Bem-condicionado: Refinamentos não devem ser feitos mais de duas vezes.