Vibração Forçada em Sistemas com Amortecimento Viscoso

A análise modal, como apresentada na Seção 6.14, aplica-se somente a sistemas não amortecidos. Em muitos casos, a influência do amortecimento sobre a resposta de um sistema vibratório é insignificante e pode ser desprezada. Todavia, o efeito do amortecimento deve ser considerado se a resposta do sistema for exigida durante um período relativamente longo em comparação com os períodos naturais do sistema. Ademais, se a frequência de excitação (no caso de uma força periódica) for a mesma ou estiver próxima das frequências naturais do sistema, o amortecimento é de primordial importância e deve ser levado em conta. Em geral, visto que seus efeitos não são conhecidos antecipadamente, o amortecimento deve ser considerado na análise de vibração de qualquer sistema. Nesta seção, consideramos as equações de movimento de um sistema amortecido com vários graus de liberdade e sua solução utilizando equações de Lagrange. Se o sistema tiver amortecimento viscoso, seu movimento enfrentará o amortecimento de uma força cuja magnitude é proporcional à da velocidade, porém na direção oposta. É conveniente introduzir uma função R, conhecida como função de dissipação de Rayleigh, na dedução das equações de movimento por meio de equações de Lagrange [6.7]. Essa função é definida como:

onde a matriz [c] é denominada matriz de amortecimento e é positiva definida, como as matrizes de massa e rigidez. Nesse caso [6.8], as equações de Lagrange podem ser escritas como:

onde Fi é a força aplicada à massa mi. Substituindo as equações (6.30), (6.34) e (6.117) na Equação (6.118), obtemos as equações de movimento de um sistema amortecido com vários graus de liberdade em forma matricial:

Por simplicidade, consideraremos um sistema especial para o qual a matriz de amortecimento pode ser expressa como uma combinação linear das matrizes de massa e rigidez:

onde e são constantes. Esse tipo de amortecimento é conhecido como amortecimento proporcional porque [c] é proporcional à combinação linear de [m] e [k]. Substituindo a Equação (6.120) na Equação (6.119), obtemos:

Expressando o vetor solução x como uma combinação linear dos modos naturais do sistema não amortecido, como no caso da Equação (6.104),

A equação (6.121) pode ser reescrita como:

Pré-multiplicando a Equação (6.123) por [X]^t, temos como resultado,

Se os autovetores forem normalizados de acordo com as equações (6.74) e (6.75), a Equação (6.124) reduz-se a:

isto é,

onde w é a i-ésima frequência natural do sistema não amortecido e

Escrevendo

onde é denominado fator de amortecimento modal para o i-ésimo modo normal, as Equações (6.125) podem ser reescritas como:

Podemos ver que cada uma das n equações representadas por essa expressão não é acoplada com nenhuma das outras. Por consequência, podemos determinar a resposta do i-ésimo modo da mesma maneira que determinamos a de um sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso. A solução da Equação (6.128), quando < 1, pode ser expressa como:

Observe os seguintes aspectos desses sistemas: