Resolução da Segunda Prova de Séries Temporais (SME0808)

Segunda Prova de Séries Temporais (SME0808)

(A) FALSO! No modelo ARMA(p,q), a variância do erro de previsão aumenta com o horizonte de previsão; consequentemente, o intervalo de previsão também aumenta.
(B) FALSO! Para uma série trimestral, uma diferença sazonal ∇₄Xₜ não é equivalente a 4 diferenças simples ∇⁴Xₜ. Pois (1-B⁴) = (1+B²)(1-B²), logo (1-B⁴) ≠ (1-B)⁴.
(C) FALSO! No processo ARCH(1) com erros normais, devemos impor as restrições c > 0 e α ≥ 0 para que σₜ² seja sempre positiva.
(D) VERDADEIRO! O modelo GARCH(1,1) admite que a variância condicional da série não seja constante.
(E) VERDADEIRO! No modelo Xₜ = c + εₜ + 0.8εₜ₋₁, a previsão k passos à frente é igual a c para k > 1.
(A) FALSO! Um AIC negativo não indica necessariamente um modelo ruim; o pior modelo é sempre aquele com o maior AIC comparado aos demais.
(C) FALSO! Os critérios de informação AIC e BIC possuem restrições de aplicabilidade dependendo da distribuição.
(D) FALSO! A interpretação depende da comparação relativa entre valores de BIC para o modelo ARMA(p,q).
(F) FALSO! Em um modelo AR(p) estacionário, a variância do erro de previsão converge para a variância incondicional da série, logo o intervalo de previsão não diminui.

Dadas 100 observações do processo Xₜ = Φ₁Xₜ₋₁ + Φ₂Xₜ₋₂ + εₜ, com r₁=0.8, r₂=0.5 e r₃=0.4:

(A) Pelas equações de Yule-Walker (r₀=1): 0.8 = Φ₁ + Φ₂*0.8 e 0.5 = Φ₁*0.8 + Φ₂. Resolvendo o sistema, temos Φ₂ ≈ -0.3889 e Φ₁ ≈ 1.1111.
(B) Para um processo AR(p=2), minimizamos a soma dos quadrados: S = Σₜ₌ₚ₊₁ⁿ [(Xₜ-μ) - α₁(Xₜ₋₁-μ) - α₂(Xₜ₋₂-μ)]².
(C) O método de máxima verossimilhança busca maximizar a verossimilhança completa ou condicional.

Dado Xₜ = αXₜ₋₁ + εₜ + Θεₜ₋₁, com Ψⱼ = αʲ(α + Θ):

(A) A variância do erro de previsão k passos à frente é: Var[εₜ₊ₖ] = {Σᵢ₌₀ᵏ⁻¹ Ψᵢ²} * σₑ², onde Ψ₀ = 1.
(B) A previsão X̂ₜ(k) para k > 1 é dada por X̂ₜ(k) = Σᵢ₌₀∞ Ψₖ₊ᵢεₜ₋ᵢ.
(C) Sob normalidade, o intervalo de previsão é X̂ₜ(k) ± z(α/2) * √Var[εₜ₊ₖ].

(A) SARIMA(1,1,0)x(0,1,0)ₛ: (1-α₁B)(1-B)(1-Bˢ)Xₜ = εₜ.
(B) Resíduos adequados devem ser ruído branco (distribuição aleatória em torno de zero).
(C) Autocorrelações significativas indicam necessidade de ajuste no modelo (ex: incluir mais termos de médias móveis).

(A) Para MA(2): X̂ₜ(1) = Θ₁εₜ + Θ₂εₜ₋₁; X̂ₜ(2) = Θ₂εₜ; X̂ₜ(k) = 0 para k > 2.
(B) Para AR(1) com α=0.9: X̂ₜ(k) = αᵏXₜ.
(C) A variância do erro de previsão para AR(1) é [σₑ² / (1-α²)] * (1-α²ᵏ).