Análise de Sobrevivência: conceitos, fórmulas, tipos de censura e demonstrações

Análise de Sobrevivência: Conceitos Fundamentais

Definições de Censura e Variáveis

Variáveis Fundamentais:

• L: Tempo Inicial de observação.
• n: Número de unidades (sujeitos) no estudo.
• T_i: Tempo de vida (ou falha) associado a cada unidade i.
• r: Número total de falhas observadas.

Tipos de Censura:

• Censura à Direita: O tempo de falha (T) não é conhecido, sabendo-se apenas que T é maior ou igual a L (T ≥ L).
• Censura à Esquerda: O evento de interesse ocorre antes do sujeito ser observado no estudo. Sabemos apenas que T é menor ou igual a L (T ≤ L).
• Censura Intervalar: Não sabemos o tempo exato em que ocorreu o evento de interesse. Porém, sabemos que o mesmo ocorreu no intervalo [L, U).
  Exemplo: Após 3 meses, o paciente está livre da doença, mas após 6 meses é constatada a recorrência. O evento ocorreu em [3, 6).

Tipos de Censura em Experimentos:

• Censura Tipo I: O experimento é realizado com um tempo limite prefixado. T_i é conhecido somente se for menor que o tempo limite pré-fixado. (Se T_i for igual, temos censura do tipo I simples. Se T_i for diferente, temos censura do tipo I múltipla).
• Censura Tipo II: O experimento termina quando o número de falhas (r) atinge um valor prefixado (f). (Se todas as amostras são colocadas em teste simultaneamente, temos censura do tipo II simples. Caso contrário, temos censura do tipo II múltipla).
• Censura Aleatória: Assumimos que os tempos de censura são prefixados e que C₁, ..., C_n são estocasticamente independentes em relação a T₁, ..., T_n. Ou seja, a censura pode ocorrer de forma aleatória, podendo ser do tipo I ou II, de maneira simultânea.

Fórmulas e Funções Chave

1. Função Densidade de Probabilidade (FDP), f(t)

$$f(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P[t \le T < t+\Delta T]}{\Delta T}$$
$$f(t) = -\frac{d}{dt} S(t)$$

2. Função de Sobrevivência, S(t)

$$S(t) = P[T \ge t] = 1 - F(t)$$
$$S(t) = \int_{t}^{\infty} f(u) du = \exp\{-\Lambda(t)\}$$

Exemplo: S(t=400) = 0.39. Então, 39% dos indivíduos sobrevivem mais que 400 unidades de medida.

3. Função Taxa de Falha (ou Risco), λ(t) ou h(t)

$$\lambda(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = -\frac{d}{dt} (\log(S(t)))$$

4. Função Taxa de Falha Acumulada, Λ(t) ou H(t)

$$\Lambda(t) = \int_{0}^{t} \lambda(u) du = -\log(S(t))$$

Probabilidades e Taxas Intervalares:

• Probabilidade de Falha Intervalar [t₁, t₂): S(t₁) - S(t₂).
• Taxa de Falha Intervalar [t₁, t₂): $$\{ \frac{[S(t_1)-S(t_2)]}{[(t_2-t_1) \cdot S(t_1)]} \}$$

5. Tempo Médio de Sobrevivência, E(T) ou t_m

$$t_m = \int_{0}^{\infty} S(t) dt$$

Exemplo: t_m = 3.5. Espera-se que os pacientes sobrevivam 3.5 unidades de tempo.

6. Quantil (Percentil), t_q

Definido por $$S(t_q) = 1 - q$$ (onde q é a probabilidade de falha acumulada). Se q = 0.5, temos a mediana.

Exemplo: Queremos o quantil de 10% de falha (q=0.10). $$S(t_q) = 1 - 0.10 = 0.90$$. Se t_q = 5, espera-se que 10% dos pacientes tenham remissão da doença em menos de 5 unidades de tempo.

7. Valor Médio Residual (VMR), VMR(t)

$$VMR(t) = \frac{\int_{t}^{\infty} S(u) du}{S(t)}$$

Exemplo: VMR(t=10) = 3.5. Para os pacientes que sobreviveram até o tempo 10, é esperado que os mesmos sobrevivam mais 3.5 unidades de tempo.

Propriedades e Demonstrações Chave

1. Condição de Continuidade Absoluta

Uma função S(t) é absolutamente contínua se for contínua em todo intervalo t. Basta provar que:

• $$\lim_{t \to 0} S(t) = 1$$
• $$\lim_{t \to \infty} S(t) = 0$$

2. Propriedade de Decrescimento de S(t)

S(t) é decrescente no domínio $$t \in [0, \infty]$$, o que é garantido se $$\frac{d}{dt} S(t) < 0$$.

3. Taxa de Risco para o Mínimo de Tempos

Demonstração: Prove que $$T = \min(T_1, \dots, T_n)$$ tem função de risco/falha $$\lambda(t) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j(t)$$.

Partindo do conhecimento que: $$\lambda(t) = -\frac{d}{dt} (\log(S(t)))$$.
Por independência, temos $$S(t) = S_1(t) \cdot S_2(t) \cdots S_n(t)$$.
Aplicando o logaritmo e derivando, obtemos: $$\lambda(t) = -\frac{d}{dt} (\log(S(t))) = -\frac{d}{dt} \left( \sum_{j=1}^{n} \log(S_j(t)) \right) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j(t)$$.

4. Demonstração: H(t) = -log(S(t))

Sabemos que $$H(t) = \int_{0}^{t} h(u) du = \int_{0}^{t} \frac{f(u)}{S(u)} du$$.
Pela integral por substituição, seja $$v = S(u)$$ e $$dv = -f(u) du$$.
Então, $$H(t) = \int_{1}^{S(t)} \frac{-dv}{v} = -[\log(v)]_{1}^{S(t)} = -\log(S(t))$$.

5. Demonstração: f(t) = h(t) · exp{-H(t)}

Partimos da relação $$H(t) = -\log(S(t))$$, o que implica $$S(t) = \exp\{-H(t)\}$$.
Como a função densidade de probabilidade é $$f(t) = h(t) \cdot S(t)$$, substituindo S(t) temos: $$f(t) = h(t) \cdot \exp\{-H(t)\}$$.

6. Demonstração: Lim t→∞ H(t) = ∞

Partindo de $$H(t) = -\log(S(t))$$.
$$\lim_{t \to \infty} H(t) = -\log \left( \lim_{t \to \infty} S(t) \right)$$.
Pela definição de função de sobrevivência, $$\lim_{t \to \infty} S(t) = 0$$.
Substituindo o limite: $$\lim_{t \to \infty} H(t) = -\log(0)$$.
Como $$\log(x) \to -\infty$$ quando $$x \to 0^+$$, temos: $$\lim_{t \to \infty} H(t) = -(-\infty) = +\infty$$.