Exercícios Resolvidos de Matemática e Estatística

1. Cálculo de Média Salarial com Reajuste

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de:

Resposta correta: a. R$ 1.375,00

Feedback da resposta: A soma de todos os salários inicialmente deve ser igual a 1.500 x 100 (150.000). Se saíram 20 funcionários com salário igual a R$ 2.500 cada, a soma se reduziu para 100.000. A nova média será 100.000 / 80 = 1.250. Mas houve o aumento geral de 10%, o que eleva a média para 1.250 * 1,1 = R$ 1.375,00.

2. Sistema de Créditos e Proporcionalidade

Um determinado site oferece músicas para serem baixadas no computador. O usuário, para baixar as músicas, deve adquirir 400 créditos, sendo que cada música baixada custará 10 créditos. Responda quantas músicas podem ser baixadas, respectivamente, utilizando o total (400 créditos) e caso o usuário tenha utilizado 240 créditos?

Resposta correta: a. 40 e 16

Feedback da resposta:
10x = 400 ⇒ x = 400 / 10 ⇒ x = 40. Podem ser baixadas 40 músicas utilizando os 400 créditos.
Para o segundo caso: 400 – 240 = 160 créditos restantes. 10x = 160 ⇒ x = 160 / 10 ⇒ x = 16. Utilizando 160 créditos, podem ser baixadas 16 músicas.

3. Análise Combinatória: Formação de Grupos

De quantas maneiras diferentes um professor poderá formar um grupo de 3 alunos, escolhidos a partir de um grupo de 6 alunos?

Resposta correta: 20

Feedback da resposta: C(6,3) = 6! / ((6-3)! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 120 / 6 = 20.

4. Porcentagem e Taxa de Reajuste

A porcentagem é de uso frequente em uma grande quantidade de situações, mais comumente envolvendo operações financeiras, sendo usada para calcular juros, expressar índices, descontos ou aumentos de preços, multas, etc. Na estatística, é utilizada para apresentar dados comparativos de maneira geral. Dentro deste contexto, certa mercadoria que custava R$ 12,50 teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de:

Resposta correta: 16%

Feedback da resposta: Fazendo com que R$ 12,50 corresponda a 100%, podemos montar a regra de três com R$ 14,50, encontrando um aumento de 16%.

5. Média Aritmética Simples

Numa turma, com igual número de moças e rapazes, foi aplicada uma prova de Matemática. A média aritmética das notas das moças foi 9,2 e a dos rapazes foi 8,8. Qual a média aritmética de toda a turma nessa prova?

Resposta correta: 9,0

Feedback da resposta: Calculando a média aritmética: (9,2 + 8,8) / 2 = 9,0.

6. Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. A partir desta definição, resolva o seguinte problema: Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são necessários 2.200 kg de milho. Retirando-se 7 vacas, em quanto tempo serão consumidos 1.280 kg?

Resposta correta: 12 dias

Feedback da resposta: Montando a tabela de proporcionalidade, encontramos a seguinte equação: 11/x = (8/15) * (2.200/1.280), fornecendo x = 12 dias.

7. Ponto de Equilíbrio Financeiro

Uma confeitaria tem um custo fixo mensal de R$ 110.000,00 (custo que engloba aluguel, salários e outras despesas independentes da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo variável de cada panetone é de R$ 3,00 e o preço de venda por unidade é R$ 20,00, quantos panetones, no mínimo, devem ser vendidos mensalmente para não haver prejuízo?

Resposta correta: 6.470 unidades

Feedback da resposta:
Preço de venda unitário: $20;
Custo variável unitário: $3;
Custo fixo no período: $110.000.
Equação: 20x = 3x + 110.000 ⇒ 17x = 110.000 ⇒ x = 110.000 / 17 ≈ 6.470 unidades.

8. Princípio Fundamental da Contagem

Numa eleição para a diretoria de um clube, concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro-secretário e 4 a tesoureiro. O número de resultados possíveis da eleição é:

Resposta correta: 72

Feedback da resposta: Como visto no nosso material de estatística, devemos usar o princípio fundamental da contagem: 3 x 2 x 3 x 4 = 72.

9. Matemática Financeira: Juros e Logaritmos

Um cliente de uma determinada instituição financeira deseja realizar um investimento; a instituição oferece 3% a.m. de juros. Esse cliente possui um capital de R$ 80.000,00. Qual o prazo do investimento para resgatar R$ 240.000,00?

Resposta correta: 37,16 meses

Feedback da resposta:
240.000 = 80.000 * (1,03)^n
(1,03)^n = 240.000 / 80.000
(1,03)^n = 3
log(1,03)^n = log 3
n * (0,01284) = 0,47712
n = 0,47712 / 0,01284 ⇒ n = 37,16 meses.

10. Média Salarial com Reajuste de 5%

A média aritmética dos salários dos 100 empregados em uma empresa é de R$ 1.500,00. Na hipótese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salário de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 5% em todos os salários dos remanescentes, a nova média aritmética dos salários será de:

Resposta correta: R$ 1.312,50

Feedback da resposta: A soma de todos os salários inicialmente deve ser igual a 1.500 x 100 (150.000). Neste caso, saíram 20 funcionários com salário igual a R$ 2.500 cada, a soma se reduziu para 100.000. A nova média será 100.000 / 80 = 1.250. Mas houve o aumento geral de 5%, o que eleva a média para 1.250 + 62,50 (5% de 1.250) = R$ 1.312,50.