Tensão Normal, Deformação e Deslocamento em Barras e Cabos
Exercícios Resolvidos de Tensão e Deformação
Exercício 1: Tensão normal média em hastes
Enunciado: A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC. AB tem diâmetro de 10 mm e BC de 8 mm. Determine a tensão normal média em cada haste. (AB forma 60° com a horizontal; BC tem inclinação 3-4-5.)
1º) Carga interna (equilíbrio do nó B)
sen θ = 3/5; cos θ = 4/5; θ = 36,87°
Peso: P = 80 kg · 9,81 m/s² = 784,8 N
Em x: ΣFx = 0 → −F_BA cos 60° + F_BC cos 36,87° = 0 → F_BA = 1,6 F_BC (1)
Em y: ΣFy = 0 → F_BA sen 60° + F_BC sen 36,87° − 784,8 = 0 (2)
Substituindo (1) em (2): 1,6 F_BC sen 60° + F_BC sen 36,87° − 784,8 = 0 → F_BC = 395,17 N
Substituindo F_BC em (1): F_BA = 1,6 (395,17) → F_BA = 632,27 N
2º) Tensão normal média
σ_BC = F_BC / A_BC = 395,17 N / [π (0,008 m / 2)²] = 7,86 × 10⁶ N/m²
σ_BA = F_BA / A_BA = 632,27 N / [π (0,010 m / 2)²] = 8,05 × 10⁶ N/m²
Resposta: σ_BC = 7,86 MPa; σ_BA = 8,05 MPa
Exercício 2: Deformação normal nos cabos
Enunciado: A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal nos cabos CE e BD. (A-B = 3 m, B-C = 4 m; cabos com 4 m.)
1º) Deslocamento em B por semelhança de triângulos
δ_BD / 10 mm = 3000 mm / (3000 + 4000) mm
δ_BD = 4,29 mm (δ_CE = 10 mm)
2º) Deformação normal nos cabos CE e BD
ε_CE = δ_CE / L_CE = 10 mm / 4000 mm
ε_BD = δ_BD / L_BD = 4,29 mm / 4000 mm
Resposta: ε_CE = 0,0025 mm/mm; ε_BD = 0,00107 mm/mm
Diagrama tensão-deformação: fases
- Região elástica (linear): a tensão é proporcional à deformação (σ ∝ ε); o material volta ao tamanho original (reversível).
- Limite de proporcionalidade: último ponto onde a relação é linear.
- Limite de escoamento: início da deformação permanente (plástica); mesmo sem aumentar muito a tensão, o material continua deformando.
- Região plástica: deformações irreversíveis; o material não retorna ao comprimento inicial.
- Endurecimento por deformação: a tensão volta a crescer com a deformação; o material fica mais resistente.
- Limite de resistência: tensão máxima suportada.
- Estricção: redução localizada da seção transversal; a deformação cresce e a tensão começa a cair.
- Tensão de ruptura: fratura do material.
Ordem: comportamento elástico (região elástica) → comportamento plástico (escoamento → endurecimento por deformação → estricção) → ruptura.
Exercício 3: Deslocamento vertical em barra de aço
Enunciado: A barra de aço A-36 é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas A_AB = 600 mm² e A_BD = 1200 mm². Determine o deslocamento vertical da extremidade A. Dado: E = 210 GPa. (75 kN em A para cima; 20 kN + 20 kN em B e 40 kN em C para baixo. AB = 1 m, BC = 0,75 m, CD = 0,5 m.)
1º) Forças internas nas regiões AB, BC e CD
Região AB: +↑ ΣFy = 0 → 75 − P_AB = 0 → P_AB = 75 kN
Região BC: +↑ ΣFy = 0 → 75 − 20 − 20 − P_BC = 0 → P_BC = 35 kN
Região CD: +↑ ΣFy = 0 → 75 − 20 − 20 − 40 + P_CD = 0 → P_CD = −45 kN
O sinal negativo indica compressão na região CD. Forças internas em tração são positivas e em compressão negativas.
2º) Deslocamento da extremidade A
δ_A = Σ P_i L_i / (E_i A_i) = P_AB L_AB / (E A_AB) + P_BC L_BC / (E A_BD) + P_CD L_CD / (E A_BD)
δ_A = [75 kN (1000 mm)] / [210 × 10³ N/mm² (600 mm²)] + [35 kN (750 mm)] / [210 × 10³ N/mm² (1200 mm²)] − [45 kN (500 mm)] / [210 × 10³ N/mm² (1200 mm²)]
Resposta: δ_A = +0,61 mm