Apontamentos, resumos, trabalhos, exames e problemas de Física

Lista 04 — Exponencial e Weibull

Exponencial

T ~ Exp(λ)

• f(t) = λ e^-λt, t > 0
• S(t) = e^-λt
• h(t) = λ
• E[T] = 1/λ
• Var[T] = 1/λ²
• Quantil tq = −log(1 − q) / λ
• VMR = 1/λ

Weibull

T ~ W(α, λ)

• f(t) = α λ t^α−1 e^{−λ tα}
• S(t) = e^{−λ tα}
• h(t) = α λ t^α−1
• E[T] = λ^−1/α Γ(1 + 1/α)
• Var[T] = λ^−2/α [Γ(1 + 2/α) − Γ(1 + 1/α)²]

Censura tipo II

A verossimilhança com censura tipo II (r observações de falha e n − r censuradas no tempo t(r)) é:

L(θ) = n! / (n − r)! × ∏_i=1^r f_T(t(i)) × [S(t(r))]^n−r

Exponencial (com censura)

Substituindo f e S pela exponencial,

L(λ) = n! / (n − r)! × ∏_i=1^r (λ e^{−λ t(i)}) × (e^{−λ t(r)})^n−r

Definindo T = Σ_i=1^r t(i) + (n − r) t(r), temos

L(λ) = n! / (n − r)! × λ^r e^{−λ T}

Log-verossimilhança:

Exercícios Resolvidos de Termodinâmica

1. Máquina Térmica: Cálculo de Calor Extraído e Exaurido

Uma máquina térmica com rendimento térmico de 40% realiza 100 J de trabalho por ciclo. Quanto calor é (a) extraído do reservatório quente e (b) exaurido para o reservatório frio por ciclo?

Dados:

• Rendimento térmico (η) = 40% = 0,40
• Trabalho (W) = 100 J

Cálculos:

O rendimento térmico é dado por η = W / Q_q.

a) Calor extraído do reservatório quente (Q_q):

Q_q = W / η = 100 J / 0,40 = 250 J

b) Calor exaurido para o reservatório frio (Q_f):

Pela Primeira Lei da Termodinâmica para um ciclo, W = Q_q - Q_f.

Q_f = Q_q - W = 250 J - 100 J = 150 J

2. Máquina Térmica: Cálculo de Rendimento Térmico

Uma máquina térmica realiza 20 J de trabalho por ciclo

A Termodinâmica é o ramo da Física que estuda a transformação de energia térmica em trabalho. A aplicação direta desses princípios em motores de combustão interna ou externa torna esta teoria fundamental para o funcionamento de motores de carros, caminhões e tratores, bem como em turbinas de aviões, entre outras aplicações.

1. Trabalho em uma Transformação Isobárica

A transformação isobárica, como o nome indica, é aquela em que apenas o volume e a temperatura de um gás variam, enquanto a pressão é mantida constante. Nesse caso, o trabalho (τ) realizado pode ser expresso por:

τ = p ⋅ ΔV

• τ: Trabalho de uma transformação isobárica
• p: Pressão constante
• ΔV: Variação de volume

2. Energia Interna dos Gases

Um gás com... Continue a ler "Princípios Fundamentais da Termodinâmica" »

Distribuições de Probabilidade e Forma Exponencial

A forma geral de uma função de densidade ou massa de probabilidade na forma exponencial é:

$$f(y; \theta, \phi) = \exp\left\{ \frac{1}{a(\phi)} [y\theta - b(\theta)] + c(y, \phi) \right\} I_A(y)$$

Distribuições Específicas

Poisson

• $$f(y; \mu) = \frac{\mu^y e^{-\mu}}{y!}$$
• Forma Exponencial: $$f(y;\mu) = \exp\{y\ln(\mu) - \mu - \ln(y!)\} I(y)$$, com $a(\phi)=1$, $\theta=\ln(\mu)$, $b(\theta)=e^\theta$, $c(y;\phi)=-\ln(y!)$.

Binomial

• $$f(y; \pi) = \binom{m}{y}\pi^y(1-\pi)^{m-y} I_A(y)$$
• Forma Exponencial: $$f(y;\pi)=\exp\{y\ln(\frac{\pi}{1-\pi})+m\ln(1-\pi)+\ln\left(\binom{m}{y}\right)\}.$$
• Parâmetros: $a(\phi)=1$, $\theta=\ln(\frac{\pi}{1-\pi}) \implies \pi=\frac{e^\theta}{1+e^\theta}$, $b(\theta)

Chamamos de 1ª Lei da Termodinâmica o princípio da conservação de energia aplicada à termodinâmica, o que torna possível prever o comportamento de um sistema gasoso ao sofrer uma transformação termodinâmica. Analisando o princípio da conservação de energia no contexto da termodinâmica: um sistema não pode criar ou consumir energia, mas apenas armazená-la ou transferi-la ao meio onde se encontra, como trabalho, ou ambas as situações simultaneamente. Então, ao receber uma quantidade Q de calor, esta poderá realizar um trabalho e aumentar a energia interna do sistema ΔU, ou seja, expressando matematicamente: Q = t + ΔU

Sendo todas as unidades medidas em Joule (J). Conhecendo esta lei, podemos observar seu comportamento para... Continue a ler "Primeira Lei da Termodinâmica" »

Processos Termodinâmicos Comumente Considerados

É muitas vezes conveniente estudar um processo termodinâmico no qual uma única variável, tal como a temperatura, a pressão ou o volume, é mantida fixa. Além disso, é útil agrupar estes processos em pares, em que cada variável é mantida constante como um membro de um par conjugado. Vários processos termodinâmicos comumente estudados são:

Processo Isentrópico

Um processo reversível adiabático ocorre a uma entropia constante, mas é uma idealização de ficção. Conceitualmente, é possível realizar fisicamente um processo que mantém a entropia do sistema constante, permitindo a remoção sistemática controlada de calor, por condução para um corpo mais frio, para compensar a... Continue a ler "Processos Termodinâmicos Comuns e Cíclicos" »

Velocidade Terminal

O conhecimento do valor da velocidade terminal é extremamente importante para a compreensão da fluidodinâmica de uma partícula sólida, sendo essencial para o projeto de separadores fluido-partículas, tais como elutriadores, câmaras de poeira, ciclones, hidrociclones, sedimentadores entre outros equipamentos de separação de partículas.

A velocidade terminal da partícula isolada vT, refere-se à velocidade constante atingida por uma partícula isolada quando lançada em um fluido em repouso, ou seja, um caso particular da aplicação da primeira Lei de Newton.

Empuxo e Stokes

A força de empuxo segue o princípio de Arquimedes, que a força exercida sobre corpo submerso em um fluido é igual ao volume de fluido deslocado... Continue a ler "Velocidade Terminal e Peneiramento de Partículas" »

Medidores de Vazão por Diferença de Pressão

Tipos de Medidores

• Orifício (Mais usado)
• Tubo de Venturi
• Bocal
• Tubo de Pitot
• Medidor de Cotovelo

Tubo de Venturi

Vantagem: Baixas perdas de carga devido à ausência de separação da camada de fluido turbulenta (presente na placa de orifício).

• Tubo com entrada cônica curta e garganta reta comprida.
• Aumento de velocidade do líquido na garganta causa queda de pressão em grandes vazões.

Tubo de Pitot

Mede a vazão através da velocidade detectada em um ponto da tubulação.

Tubo com abertura na extremidade, posicionada na direção da corrente fluida.

Aplicação: Gases ou líquidos limpos.

Bocal de Vazão

Adequado para gás ou vapor.

Maior capacidade que as placas de orifício.

Recomendado para fluidos com... Continue a ler "Medidores de Vazão e Pressão" »